P. 186 Uma máquina térmica transforma em energia útil \frac{1}{4} do calor que ela retira da fonte quente da máquina.
Se a potência útil da máquina vale 800 kW , qual é, por segundo:
a) a quantidade de calor retirada da fonte quente?
b) a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria?

Passo 1

O enunciado dá uma máquina térmica que transforma em energia útil \tfrac{1}{4} do calor que retira da fonte quente. A potência útil da máquina vale 800\\ \mathrm{kW}. O que pede:
a) a quantidade de calor retirada da fonte quente por segundo;
b) a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria por segundo.
Informações importantes fornecidas:
  • Fração do calor transformada em trabalho útil: \dfrac{1}{4}.
  • Potência (energia útil por segundo): P_{\text{útil}} = 800\\ \mathrm{kW}ú.
  • A pergunta é “por segundo”, ou seja, estamos trabalhando com energia por unidade de tempo (potência).

Passo 2

Vamos organizar o que é cada coisa e as fórmulas que vamos usar (explicando devagarinho como se estivéssemos rabiscando no caderno).
  • Definições:
    • O calor retirado da fonte quente por segundo vamos chamar de Q_{\text{h}} (é energia por segundo, então tem as mesmas unidades de potência).
    • A energia útil por segundo (trabalho por segundo) é P_{\text{útil}}ú.
    • O calor rejeitado para a fonte fria por segundo vamos chamar de Q_{\text{f}}.
  • Relação entre eficiência, trabalho e calor:
    • A eficiência (fração do calor convertido em trabalho útil) é \eta = \dfrac{P_{\text{útil}}}{Q_{\text{h}}}ú.
    • Aqui nos deram \eta = \dfrac{1}{4}. Então a relação que usaremos é \eta = \frac{P_{\text{útil}}}{Q_{\text{h}}} \quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{h}} = \frac{P_{\text{útil}}}{\eta}.úú
    • Depois, o calor rejeitado é a diferença entre o calor que entrou e o trabalho útil: Q_{\text{f}} = Q_{\text{h}} - P_{\text{útil}}.ú
  • Unidade: 1\\ \mathrm{kW} = 1\\ \mathrm{kJ/s}. Então trabalhar com \mathrm{kW} já dá diretamente “por segundo”.

Passo 3

Calcular o calor retirado da fonte quente por segundo ( Q_{\text{h}}) usando a fórmula acima.
Q_{\text{h}} = \frac{P_{\text{útil}}}{\eta}.ú
Substituindo \eta = \tfrac{1}{4} e P_{\text{útil}} = 800\\ \mathrm{kW}ú:
Q_{\text{h}} = \frac{800\\ \mathrm{kW}}{1/4} = 800\\ \mathrm{kW}\times 4 = 3200\\ \mathrm{kW}.
Comentário didático: isso significa que por segundo a máquina retira 3200\\ \mathrm{kJ} de calor da fonte quente (pois 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s}). Em megajoules por segundo isso é 3,2\\ \mathrm{MJ/s}.

Passo 4

Calcular o calor rejeitado para a fonte fria por segundo ( Q_{\text{f}}) pela relação de conservação de energia:
Q_{\text{f}} = Q_{\text{h}} - P_{\text{útil}}.ú
Substituindo Q_{\text{h}} = 3200\\ \mathrm{kW} e P_{\text{útil}} = 800\\ \mathrm{kW}ú:
Q_{\text{f}} = 3200\\ \mathrm{kW} - 800\\ \mathrm{kW} = 2400\\ \mathrm{kW}.
Comentário didático: também dá para ver como fração de Q_{\text{h}}: como \tfrac{1}{4} vira trabalho, sobra \tfrac{3}{4} que é rejeitado, e \tfrac{3}{4}\times 3200 = 2400\\ \mathrm{kW}. Em unidades energéticas, 2400\\ \mathrm{kW}=2400\\ \mathrm{kJ/s}=2,4\\ \mathrm{MJ/s}.

Passo 5

Recapitulando de forma prática para usar na prova:
  • Identifique a eficiência \eta como \dfrac{P_{\text{útil}}}{Q_{\text{h}}}ú.
  • Isole Q_{\text{h}} = \dfrac{P_{\text{útil}}}{\eta}ú e calcule.
  • Depois faça Q_{\text{f}} = Q_{\text{h}} - P_{\text{útil}}ú.
    Unidades: se P_{\text{útil}}ú estiver em \mathrm{kW}, os resultados ficam em \mathrm{kW} (que é \mathrm{kJ/s} — perfeito para “por segundo”).

Resposta

a) Q_{\text{retirada}} = 3200\\ \mathrm{kW}
b) Q_{\text{rejeitada}} = 2400\\ \mathrm{kW}

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