P. 192 Um inventor informa ter construído uma máquina térmica que recebe, em certo tempo, 10^{5} cal e fornece, ao mesmo tempo, 5 \cdot 10^{4} cal de trabalho útil. A máquina trabalha entre as temperaturas de 177^{\circ} \mathrm{C} e 227^{\circ} \mathrm{C}.
a) Que rendimento tem a máquina que o inventor alega ter construído?
b) Comente a possibilidade de essa máquina existir.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar TUDO bem claro):
  • Dados fornecidos:
    • A máquina recebe Q_{\text{in}} = 10^{5} cal.
    • A máquina fornece trabalho útil W = 5\cdot10^{4} cal.
    • A máquina trabalha entre as temperaturas 177^\circ\mathrm{C} e 227^\circ\mathrm{C}.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Qual é o rendimento (eficiência) que o inventor alega que a máquina tem?
    • (b) Comente a possibilidade de essa máquina existir (ou seja, se a alegação é fisicamente possível).

Passo 2

O que é rendimento de uma máquina térmica (explicação didática e fórmula):
  • Rendimento (ou eficiência) \eta é a fração do calor absorvido que sai na forma de trabalho útil. Em fórmula:
\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}}
onde:
  • W é o trabalho útil produzido (em joules ou calorias),
  • Q_{\text{in}} é o calor absorvido da fonte quente (mesma unidade de W).
  • Essa é a definição básica: se você absorve 100 unidades de calor e transforma 30 em trabalho, o rendimento é 30/100=0{,}3 (30%).

Passo 3

Aplicando a fórmula aos números dados (passo a passo, sem pular etapas):
  • Substituímos W = 5\cdot10^{4} cal e Q_{\text{in}} = 10^{5} cal em \eta = \dfrac{W}{Q_{\text{in}}}.
\eta = \frac{5\cdot10^{4}}{10^{5}}
  • Agora simplificamos a fração: 10^{5} = 1\cdot10^{5}, então
\eta = \frac{5\cdot10^{4}}{1\cdot10^{5}} = \frac{5}{10} = 0{,}5.
  • Em porcentagem isso é
\eta = 0{,}5 = 50\%.
Logo, o rendimento alegado pelo inventor é 50\%.

Passo 4

Agora precisamos verificar se esse rendimento é fisicamente possível — para isso usamos o limite teórico máximo de rendimento entre duas temperaturas (a explicação do porquê aparece no passo seguinte).
  • Primeiro precisamos trabalhar com temperaturas absolutas (Kelvin). Convertendo de Celsius para Kelvin (regra: somar 273{,}15):
T_{\text{quente}} = 227^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 500{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{fria}} = 177^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 450{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Observação numérica simples: a diferença entre as temperaturas é 500{,}15-450{,}15 = 50{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Qual é o limite teórico de rendimento entre duas temperaturas? (aula curta)
  • A máquina reversível ideal (máquina de Carnot) operando entre uma fonte quente a T_h e uma fonte fria a T_c tem rendimento máximo dado por:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde T_h e T_c são temperaturas absolutas em Kelvin. Importante: essa é uma consequência da segunda lei da termodinâmica — nenhuma máquina que opere só trocando calor com duas fontes pode superar o rendimento de Carnot entre essas mesmas temperaturas.
  • Portanto, para avaliar a possibilidade física devemos comparar o rendimento alegado com \eta_{\text{Carnot}}.

Passo 6

Cálculo numérico do rendimento de Carnot para as temperaturas dadas:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}} = 1 - \frac{450{,}15}{500{,}15}.
  • Faço a divisão passo a passo: note que
\frac{450{,}15}{500{,}15} = 1 - \frac{50{,}0}{500{,}15}.
  • Calcule \dfrac{50{,}0}{500{,}15}. Aproximando:
\frac{50{,}0}{500{,}15} \approx 0{,}09997.
  • Então
\eta_{\text{Carnot}} \approx 1 - 0{,}09997 = 0{,}90003.
  • Em porcentagem:
\eta_{\text{Carnot}} \approx 0{,}09997 \approx 9{,}997\% \approx 10\%.
(Atenção: aqui eu mostrei as manipulações com os números; o resultado é que o rendimento máximo possível entre 500{,}15\\ \mathrm{K} e 450{,}15\\ \mathrm{K} é cerca de 10\%.)

Passo 7

Comparação direta e conclusão física (explicando o porquê):
  • O inventor alega \eta_{\text{alegado}} = 50\%.
  • O máximo permitido pela termodinâmica entre as temperaturas informadas é \eta_{\text{Carnot}} \approx 10\%.
  • Como 50\% > 10\%, a alegação viola a segunda lei da termodinâmica: nenhuma máquina térmica operando apenas entre essas duas fontes térmicas pode ter rendimento maior que o rendimento de Carnot.
  • Possíveis interpretações (explicação didática do que pode estar acontecendo, sem aceitar a máquina):
    • Medições erradas (talvez quem mediu confundiu unidades ou incluiu alguma fonte de energia externa).
    • A máquina realmente consome trabalho/energia extra (não é somente um motor térmico entre duas fontes).
    • As temperaturas efetivas das fontes podem ser diferentes das informadas.
    • Se nenhuma dessas explicações ocorrer, a afirmação de 50% é impossível fisicamente.

Passo 8

Resumo motivador (para você lembrar na prova):
  • Para calcular rendimento use sempre \eta = \dfrac{W}{Q_{\text{in}}}.
  • Para checar possibilidade física entre duas temperaturas compare com \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \dfrac{T_c}{T_h} com T em Kelvin.
  • Se \eta_{\text{alegado}} > \eta_{\text{Carnot}}, a máquina é impossível sem alguma fonte extra de energia ou erro experimental.

Resposta

(a) \eta = 0{,}5 = 50\%.
(b) Não — a máquina não pode existir como descrita, pois \eta_{\text{alegado}}=50\% excede \eta_{\text{Carnot}}\approx10\%, violando a segunda lei da termodinâmica.

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