Ex 19. Um fabricante de baterias sabe, por experiência, que as baterias fabricadas têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias, sendo que a duração da bateria tem aproximadamente distribuição normal. Oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca às baterias que apresentarem falhas nesse período.
a) Qual a probabilidade de uma bateria falhar antes de vencer a garantia?
b) Se 10.000 baterias forem fabricadas mensalmente, espera-se trocar quantas pelo uso da garantia?

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X das baterias segue distribuição normal com média \mu=600 dias e desvio padrão \sigma=100 dias. Precisa-se calcular
a) a probabilidade de falha antes de 312 dias, isto é, P(X<312);
b) quantas baterias serão trocadas em média se 10000 forem fabricadas.

Passo 2

Para calcular P(X<312) padronizamos X para a normal padrão Z usando
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Em x=312 temos
z = \frac{312 - 600}{100} = -2,88.

Passo 3

A probabilidade desejada é
P(X<312) = P\bigl(Z < -2,88\bigr).
Consultando tabela da normal padrão ou calculadora,
P(Z < -2,88) \approx 0,0020,
ou seja, cerca de 0{,}2\% das baterias falham antes de 312 dias.

Passo 4

Se fabricamos 10000 baterias, o número esperado de trocas é
10000 \times 0{,}0020 = 20.

Resposta

a) P(X<312)\approx 0{,}0020 (0,2%).
b) Espera-se trocar cerca de 20 baterias.

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