19 Quantas são as permutações da palavra PROPOR ns quais não existem letras consecutivas iguais?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra “PROPOR” (que tem 6 letras, com P,R,O repetidos duas vezes cada) tais que não haja duas letras iguais adjacentes. Vamos usar contagem de permutações com repetição e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Sem nenhuma restrição, o total de permutações distintas de “PROPOR” é
\frac{6!}{2!\,2!\,2!} =\frac{720}{8} =90.

Passo 3

Definimos os conjuntos:
A =anagramas com “PP” juntos,
B =anagramas com “RR” juntos,
C =anagramas com “OO” juntos.
Queremos \bigl|\overline{A\cup B\cup C}\bigr| via inclusão-exclusão.

Passo 4

Para \lvert A\rvert: trataremos “PP” como um bloco único, sobrando 5 objetos ( \text{[PP]},R,R,O,O) com R e O duplicados.
\lvert A\rvert = \frac{5!}{2!\,2!}=\frac{120}{4}=30.
Pelo mesmo raciocínio, \lvert B\rvert=30 e \lvert C\rvert=30.

Passo 5

Para \lvert A\cap B\rvert: blocos “PP” e “RR” tornam 4 objetos ( \text{[PP]},\text{[RR]},O,O) com O duplicado,
\lvert A\cap B\rvert=\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12.
Analogamente \lvert A\cap C\rvert=12 e \lvert B\cap C\rvert=12.

Passo 6

Para \lvert A\cap B\cap C\rvert: todos os três pares formam blocos “PP”, “RR” e “OO”, sobrando 3 objetos distintos,
\lvert A\cap B\cap C\rvert=3!=6.

Passo 7

Aplicando inclusão-exclusão:
\bigl|\overline{A\cup B\cup C}\bigr| =90-\bigl(30+30+30\bigr) +\bigl(12+12+12\bigr) -6 =90-90+36-6 =30.

Resposta

30 anagramas sem letras iguais consecutivas.

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