[2.] Encontre a solução geral da EDO de segunda ordem
y^{\prime \prime}+a^{2} y=0, \quad \text { com } \quad a>0
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' + a^{2} y = 0,
onde a>0. Ou seja:
Precisamos achar todas as funções y(x) (função de uma variável independente que chamo de x) que satisfazem essa igualdade para todo x.
A equação é homogênea e tem coeficientes constantes; a única informação numérica dada é que a é um número real positivo.
Passo 2
Estratégia escolhida (método): tentar soluções exponenciais do tipo y(x)=e^{rx}, com r possivelmente complexo. Essa é a técnica padrão para equações lineares de coeficientes constantes porque transforma a EDO numa equação algébrica (a “equação característica”), mais fácil de resolver. Não há pedido no enunciado para usar outro método, e esse é o mais direto aqui.
Passo 3
Substituir y(x)=e^{rx} na EDO. Primeiro calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo em \,y''+a^{2}y=0, obtemos
r^{2} e^{rx} + a^{2} e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2}+a^{2}=0.
Passo 4
Resolver a equação característica. Temos
r^{2}=-a^{2}\quad\Rightarrow\quad r=\pm i a,
onde i é a unidade imaginária (i^{2}=-1). Logo as raízes são complexas conjugadas r_{1}=i a e r_{2}=-i a.
Passo 5
Passar das soluções exponenciais complexas para soluções reais. As soluções associadas às raízes são e^{i a x} e e^{-i a x}. Usando a fórmula de Euler
e^{i a x}=\cos(ax)+i\sin(ax),\qquad e^{-i a x}=\cos(ax)-i\sin(ax),
vemos que as partes real e imaginária de e^{i a x} são \cos(ax) e \sin(ax). Como a EDO é linear e tem coeficientes reais, as combinações lineares reais dessas partes são soluções reais. Portanto duas soluções reais independentes são
y_{1}(x)=\cos(ax),\qquad y_{2}(x)=\sin(ax).
Passo 6
Argumento de independência linear e forma geral. As funções \cos(ax) e \sin(ax) são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano W(y_1,y_2)(x)=\begin{vmatrix}\cos(ax) & \sin(ax)\\\\ -a\sin(ax) & a\cos(ax)\end{vmatrix}=a(\cos^{2}(ax)+\sin^{2}(ax))=a\neq 0 para a>0), logo formam uma base do espaço de soluções da EDO de 2ª ordem. Assim a solução geral é a combinação linear com constantes reais arbitrárias C_{1} e C_{2}: