2²) Num levantamento topográfico planimétrico de uma poligonal aberta foram feitas as seguintes medidas: \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=72^{\circ} 25^{\prime} ; \mathrm{d} \overline{\mathrm{BC}}=64^{\circ} 33^{\prime} \mathrm{D} ; \mathrm{d} \overline{\mathrm{CD}}=156^{\circ} 25^{\prime} \mathrm{D} ; \mathrm{d} \overline{\mathrm{DE}}=58^{\circ} 12^{\prime} \mathrm{E} ; \overline{\mathrm{AB}}=128,46 \mathrm{~m} \overline{\mathrm{BC}}=96,72 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{CD}}=145,35 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{DE}}=108,60 \mathrm{~m}. Sabendo-se que as coordenadas retangulares do vértice A têm os seguintes valores: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=400,00 \mathrm{~m} e \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=500,00 \mathrm{~m}, pede-se calcular as coordenadas retangulares dos demais vértices.

Passo 1

O enunciado descreve uma poligonal aberta com vértices A,B,C,D,E. Temos a azimute \mathrm{Az}\,\overline{AB}=72^\circ25' e os ângulos de deflexão seguintes:
\delta_{BC}=64^\circ33' à direita,
\delta_{CD}=156^\circ25' à direita,
\delta_{DE}=58^\circ12' à esquerda.
As distâncias são \overline{AB}=128{,}46,m, \overline{BC}=96{,}72,m, \overline{CD}=145{,}35,m e \overline{DE}=108{,}60,m.
Partindo de A(400{,}00;\,500{,}00), vamos:
1. determinar as azimutes de cada rumo;
2. calcular as projeções \Delta X=L\sin\theta e \Delta Y=L\cos\theta;
3. obter as coordenadas sucessivas.

Passo 2

Calcular as azimutes dos demais r umos a partir da azimute inicial e dos ângulos de deflexão (direita: soma; esquerda: subtração), tomando módulo 360^\circ:
\begin{aligned} \mathrm{Az}_{BC}&=72^\circ25'+64^\circ33'=136^\circ58',\\\ \mathrm{Az}_{CD}&=136^\circ58'+156^\circ25'=293^\circ23'\\ (\bmod360),\\\ \mathrm{Az}_{DE}&=293^\circ23'-58^\circ12'=235^\circ11'. \end{aligned}

Passo 3

Para \overline{AB}:
\theta_{AB}=72^\circ25', L_{AB}=128{,}46.
\begin{aligned} \Delta X_{AB}&=128{,}46\sin(72^\circ25')\approx122{,}51,\\\ \Delta Y_{AB}&=128{,}46\cos(72^\circ25')\approx38{,}83. \end{aligned}
Logo,
X_B=400{,}00+122{,}51=522{,}51,\quad Y_B=500{,}00+38{,}83=538{,}83.

Passo 4

Para \overline{BC}:
\theta_{BC}=136^\circ58', L_{BC}=96{,}72.
\begin{aligned} \Delta X_{BC}&=96{,}72\sin(136^\circ58')\approx66{,}13,\\\ \Delta Y_{BC}&=96{,}72\cos(136^\circ58')\approx-70{,}67. \end{aligned}
Assim,
X_C=522{,}51+66{,}13=588{,}64,\quad Y_C=538{,}83-70{,}67=468{,}16.

Passo 5

Para \overline{CD}:
\theta_{CD}=293^\circ23', L_{CD}=145{,}35.
\begin{aligned} \Delta X_{CD}&=145{,}35\sin(293^\circ23')\approx-133{,}49,\\\ \Delta Y_{CD}&=145{,}35\cos(293^\circ23')\approx57{,}72. \end{aligned}
Logo,
X_D=588{,}64-133{,}49=455{,}15,\quad Y_D=468{,}16+57{,}72=525{,}88.

Passo 6

Para \overline{DE}:
\theta_{DE}=235^\circ11', L_{DE}=108{,}60.
\begin{aligned} \Delta X_{DE}&=108{,}60\sin(235^\circ11')\approx-89{,}20,\\\ \Delta Y_{DE}&=108{,}60\cos(235^\circ11')\approx-62{,}02. \end{aligned}
Assim,
X_E=455{,}15-89{,}20=365{,}95,\quad Y_E=525{,}88-62{,}02=463{,}86.

Resposta

B (522{,}51;\;538{,}83)
C (588{,}64;\;468{,}16)
D (455{,}15;\;525{,}88)
E (365{,}95;\;463{,}86)

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