Dados
, calcule por meio de uma integral de linha a área da região
contida na curva fechada suave simples e fechada
.
Passo 1
O enunciado dá a curva fechada e suave
com
, e pede para calcular, por meio de uma integral de linha, a área da região
contida nessa curva. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é uma elipse centrada na origem.
- A região
é a região limitada por essa elipse. - A tarefa é obter a área de
usando uma integral de linha (ou seja, transformar a área numa integral de contorno e avaliá‑la).
Passo 2
Vamos usar a fórmula que converte a área de uma região
numa integral de linha ao longo da fronteira
. Essa fórmula é (aplicando o Teorema de Green com escolha apropriada de campos):
Explicando bem: o Teorema de Green diz que, para um campo vetorial
suave numa região que contém
,
Se escolhermos
e
, então
logo a integral de linha
é igual à área de
. Reescrevendo a integral de linha em termos de
obtemos exatamente a fórmula acima. Ou seja, para calcular a área podemos avaliar
Essa fórmula dá uma integral de contorno que a gente consegue parametrizar e calcular.
Passo 3
Parametrizamos a elipse. A equação
é uma elipse com semi-eixos
e
. Uma parametrização usual e suave, percorrendo
no sentido anti‑horário (orientação positiva), é
Aqui
é o parâmetro que percorre a curva uma vez quando vai de
a
. Escolhemos coseno e seno para garantir o movimento anti‑horário (padrão para aplicar a fórmula da área diretamente).
Passo 4
Calculamos
e
em função de
:
Agora substituímos essas expressões na integranda
.
Passo 5
Substituindo
na expressão
obtemos:
Agrupando fatores:
Usando a identidade trigonométrica
, isso simplifica para
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da área:
Calculando a integral:
Então a área da região interior à elipse dada é
. (Cheque mental: se
temos uma circunferência de raio
e área
, que coincide com a fórmula — bom sinal!)