[2,0 \mathrm{pts}] Dados a, b \neq 0, calcule por meio de uma integral de linha a área da região D contida na curva fechada suave simples e fechada \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=9.

Passo 1

O enunciado dá a curva fechada e suave
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=9,
com a,b\neq 0, e pede para calcular, por meio de uma integral de linha, a área da região D contida nessa curva. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é uma elipse centrada na origem.
  • A região D é a região limitada por essa elipse.
  • A tarefa é obter a área de D usando uma integral de linha (ou seja, transformar a área numa integral de contorno e avaliá‑la).

Passo 2

Vamos usar a fórmula que converte a área de uma região D numa integral de linha ao longo da fronteira C=\partial D. Essa fórmula é (aplicando o Teorema de Green com escolha apropriada de campos):
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).Á
Explicando bem: o Teorema de Green diz que, para um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) suave numa região que contém D,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
Se escolhermos P=-\tfrac{y}{2} e Q=\tfrac{x}{2}, então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1,
logo a integral de linha \oint_{C}P\,dx+Q\,dy é igual à área de D. Reescrevendo a integral de linha em termos de x\,dy-y\,dx obtemos exatamente a fórmula acima. Ou seja, para calcular a área podemos avaliar
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).Á
Essa fórmula dá uma integral de contorno que a gente consegue parametrizar e calcular.

Passo 3

Parametrizamos a elipse. A equação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=9 é uma elipse com semi-eixos 3a e 3b. Uma parametrização usual e suave, percorrendo C no sentido anti‑horário (orientação positiva), é
x(t)=3a\cos t,\qquad y(t)=3b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Aqui t é o parâmetro que percorre a curva uma vez quando vai de 0 a 2\pi. Escolhemos coseno e seno para garantir o movimento anti‑horário (padrão para aplicar a fórmula da área diretamente).

Passo 4

Calculamos dx e dy em função de dt:
dx(t) = -3a\sin t\,dt,\qquad dy(t)=3b\cos t\,dt.
Agora substituímos essas expressões na integranda x\,dy-y\,dx.

Passo 5

Substituindo x,y,dx,dy na expressão x\,dy-y\,dx obtemos:
x\,dy - y\,dx = \bigl(3a\cos t\bigr)\bigl(3b\cos t\,dt\bigr) - \bigl(3b\sin t\bigr)\bigl(-3a\sin t\,dt\bigr).
Agrupando fatores:
x\,dy - y\,dx = 9ab\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)dt.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, isso simplifica para
x\,dy - y\,dx = 9ab\,dt.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da área:
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}9ab\,dt.Á
Calculando a integral:
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\cdot 9ab\int_{0}^{2\pi}dt=\frac{9ab}{2}\cdot 2\pi = 9\pi ab.Á
Então a área da região interior à elipse dada é 9\pi ab. (Cheque mental: se a=b=R temos uma circunferência de raio 3R e área \pi(3R)^{2}=9\pi R^{2}, que coincide com a fórmula — bom sinal!)

Resposta

\;9\pi ab