[2 pts] Determine m in R tal que o vetor v=(1,-m, 3) seja combinação linear dos vetores v1=(1,0,2), v2= (1,1,1) e v3=(2,-1,5)

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar um número real tal que o vetor seja uma combinação linear dos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 é uma combinação linear de , e se existirem escalares , e tais que:
Isso dá origem a um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores.

Passo 3

Vamos escrever as equações component-wise:
1 = a + b + 2c -m = 0a + b - c 3 = 2a + b + 5c
Essas três equações nos ajudarão a encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
-m = b - c Rightarrow b = -m + c
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.

Passo 5

Substituindo 1 = a + (-m + c) + 2c 1 = a - m + 3c Rightarrow a = 1 + m - 3c na primeira equação:

Passo 6

Agora, substituímos 3 = 2(1 + m - 3c) + (-m + c) + 5c 3 = 2 + 2m - 6c - m + c + 5c 3 = 2 + m Rightarrow m = 1 e na terceira equação:

Resposta

O valor de que satisfaz as condições é .

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