• 20 -A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=127 - 22 , onde r está em metros e r em segundos.
    Determine (a) a posição, (b) a velocidade e © a aceleração da partícula em 1 = 3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é al-cançada? (f) Oual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? ( h )
    Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante 1=0 )? (i) Determine a velocidade média da partícula entre ( =0 e t= 3,0 s.

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo x(t) = 127,t - 22,t^2 , cuja posição em função do tempo é dada pela equação:
Aqui, está em metros e em segundos. Vamos precisar de conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Especificamente, vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e também vamos analisar o comportamento da função para encontrar máximos e valores médios.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Determinar a posição da partícula em x(3,0) = 127 times 3,0 - 22 times (3,0)^2 s.
Para isso, basta substituir na equação da posição:

Passo 3

Agora, vamos calcular:
x(3,0) = 381 - 22 times 9 = 381 - 198 = 183, metros

Passo 4

Resposta da parte (a): A posição da partícula em segundos é 183 metros.

Passo 5

Vamos para a parte (b): Determinar a velocidade da partícula em v(t) = dxdt = ddt(127,t - 22,t^2) = 127 - 44,t s.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos em relação a :

Passo 6

Substituindo v(3,0) = 127 - 44 times 3,0 = 127 - 132 = -5, m/s s na expressão da velocidade:

Passo 7

Resposta da parte (b): A velocidade da partícula em segundos é -5 m/s.

Passo 8

Agora, a parte ©: Determinar a aceleração da partícula em a(t) = dvdt = ddt(127 - 44,t) = -44, m/s^2 s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:

Passo 9

Note que a aceleração é constante e igual a -44 m/s² para qualquer valor de , inclusive em s.

Passo 10

Resposta da parte ©: A aceleração da partícula em segundos é -44 m/s².

Passo 11

Vamos para a parte (d): Determinar a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula.
A função posição tmáx = -b2a é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de tmáx = -1272 times (-22) = 12744 approx 2,886, s é negativo). O ponto máximo ocorre no vértice da parábola.
Para encontrar o tempo em que ocorre o vértice, usamos a fórmula:
á
Onde e . Substituindo:
á

Passo 12

Agora, substituímos xmáx = 127 times 2,886 - 22 times (2,886)^2 á na equação da posição para encontrar a coordenada máxima:
xmáx ≈ 127 times 2,886 ≈ 366,122 á
Vamos calcular:
22 times (2,886)^2 ≈ 22 times 8,343 ≈ 183,546 á
xmáx ≈ 366,122 - 183,546 ≈ 182,576, metros
á

Passo 13

Resposta da parte (d): A coordenada positiva máxima alcançada pela partícula é aproximadamente 182,6 metros.

Passo 14

Parte (e): Determinar em que instante de tempo essa coordenada máxima é alcançada.
Já calculamos isso anteriormente:
tmáx ≈ 2,886, segundos á

Passo 15

Resposta da parte (e): A coordenada máxima é alcançada em aproximadamente 2,89 segundos.

Passo 16

Vamos para a parte (f): Determinar a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula.
A velocidade atinge seu máximo quando a aceleração é zero. Porém, como a aceleração é constante ( v(0) = 127 - 44 times 0 = 127, m/s ), a velocidade máxima ocorre no instante inicial .
Calculando :

Passo 17

Resposta da parte (f): A velocidade positiva máxima alcançada pela partícula é 127 m/s.

Passo 18

Parte (g): Determinar em que instante de tempo essa velocidade máxima é alcançada.
Como mencionado, a velocidade máxima ocorre em s.

Passo 19

Resposta da parte (g): A velocidade máxima de 127 m/s é alcançada em t = 0 segundos.

Passo 20

Parte (h): Determinar a aceleração da partícula no instante em que ela não está se movendo (além de 127 - 44,t = 0 implies t = 12744 approx 2,886, s ).
A partícula não está se movendo quando a velocidade é zero. Então, vamos encontrar a(t) = -44, m/s^2 quando :
Agora, a aceleração nesse instante é:

Passo 21

Resposta da parte (h): A aceleração da partícula quando ela não está se movendo (além de ) é -44 m/s².

Passo 22

Finalmente, a parte (i): Determinar a velocidade média da partícula entre vmédia = x(t2) - x(t1)t2 - t1 e x(0) = 127 times 0 - 22 times 0^2 = 0, m s.
A velocidade média ( é) é dada por:
é
Onde s e s.
Primeiro, encontramos :
E já calculamos .

Passo 23

Substituindo na fórmula:
vmédia = 183, m - 0, m3,0, s - 0, s = 1833,0 = 61, m/s é

Passo 24

Resposta da parte (i): A velocidade média da partícula entre e segundos é 61 m/s.

Resposta

Todas as partes foram resolvidas conforme solicitado, proporcionando uma compreensão completa do movimento da partícula.

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