(1/2019 - extra) Determine o plano tangente à superfície
com
e
, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Sugestão: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano
no primeiro octante é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o plano tangente à superfície dada por
, onde
. A ideia é que esse plano forme um tetraedro com os planos coordenados (x, y, z) de volume mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas para achar a equação do plano tangente e otimização para minimizar o volume do tetraedro.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a equação geral do plano tangente à superfície elipsoidal dada. A superfície é uma elipsoide, e a equação geral do plano tangente a uma elipsoide
no ponto
é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação do plano tangente fica:
Passo 3
Agora, vamos relacionar os coeficientes do plano com os interceptos nos eixos coordenados. A equação do plano pode ser escrita na forma:
Aqui,
,
e
são os interceptos nos eixos x, y e z, respectivamente. Comparando com a equação do passo anterior, podemos identificar que:
Passo 4
O próximo passo é usar a fórmula sugerida para o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano tangente. A fórmula é:
No nosso caso, a equação do plano está na forma
, que pode ser reescrita como:
Aqui,
,
,
, e
. Substituindo na fórmula do volume:
Passo 5
Queremos minimizar o volume
. Mas, lembrando das relações que temos entre
,
,
e as coordenadas
,
,
:
Substituindo na expressão do volume:
Passo 6
Para minimizar
, precisamos maximizar
. Mas, como
,
,
estão na superfície da elipsoide
, vamos usar o método de Lagrange para maximizar
sujeito a essa restrição.
Passo 7
Aplicando Lagrange, definimos a função:
Derivando em relação a
,
e
e igualando a zero:
Passo 8
Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar
:
Fazendo o mesmo com a primeira e a terceira equação:
Passo 9
Agora, sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação da elipsoide para encontrar
:
Simplificando:
Passo 10
Com
, podemos encontrar
e
:
Passo 11
Agora, substituímos
,
e
na equação do plano tangente:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Podemos dividir toda a equação por
para deixar mais elegante:
Simplificando as frações:
Resposta
O plano tangente que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo é dado por: