(1/2019 - extra) Determine o plano tangente à superfície
x^2/4 + y^2/9 + z^2/36 = 1
com x > 0, y > 0 e z > 0, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Sugestão: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano a x + b y + c z = d no primeiro octante é dado por V = d^3 / (6 a b c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o plano tangente à superfície dada por , onde . A ideia é que esse plano forme um tetraedro com os planos coordenados (x, y, z) de volume mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas para achar a equação do plano tangente e otimização para minimizar o volume do tetraedro.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a equação geral do plano tangente à superfície elipsoidal dada. A superfície é uma elipsoide, e a equação geral do plano tangente a uma elipsoide no ponto é:
No nosso caso, , e . Então, a equação do plano tangente fica:

Passo 3

Agora, vamos relacionar os coeficientes do plano com os interceptos nos eixos coordenados. A equação do plano pode ser escrita na forma:
Aqui, , e são os interceptos nos eixos x, y e z, respectivamente. Comparando com a equação do passo anterior, podemos identificar que:

Passo 4

O próximo passo é usar a fórmula sugerida para o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano tangente. A fórmula é:
No nosso caso, a equação do plano está na forma , que pode ser reescrita como:
Aqui, , , , e . Substituindo na fórmula do volume:

Passo 5

Queremos minimizar o volume . Mas, lembrando das relações que temos entre , , e as coordenadas , , :
Substituindo na expressão do volume:

Passo 6

Para minimizar , precisamos maximizar . Mas, como , , estão na superfície da elipsoide , vamos usar o método de Lagrange para maximizar sujeito a essa restrição.

Passo 7

Aplicando Lagrange, definimos a função:
Derivando em relação a , e e igualando a zero:

Passo 8

Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar :
Fazendo o mesmo com a primeira e a terceira equação:

Passo 9

Agora, sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação da elipsoide para encontrar :
Simplificando:

Passo 10

Com , podemos encontrar e :

Passo 11

Agora, substituímos , e na equação do plano tangente:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Podemos dividir toda a equação por para deixar mais elegante:
Simplificando as frações:

Resposta

O plano tangente que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo é dado por:

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