21.18 No caso de uma corrente elétrica que passa por um ponto, conhecer a relação entre a corrente, um intervalo de tempo e a quantidade de carga que passa pelo ponto nesse intervalo de tempo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente conheça a relação entre a corrente elétrica que passa por um ponto, um intervalo de tempo e a quantidade de carga que passa por esse ponto nesse intervalo.
Informações dadas (explicitadas):
  • Há uma corrente elétrica, possivelmente dependente do tempo, que atravessa um ponto.
  • Quer-se relacionar: corrente, intervalo de tempo e carga que passou.
    Não há valores numéricos no enunciado; a tarefa é apresentar a relação geral e como usá‑la.

Passo 2

Definição e unidade — o que é carga e o que é corrente.
  • Carga elétrica é uma grandeza que medimos em \text{coulomb}. Vou chamar a carga acumulada que passou pelo ponto até um instante t de Q(t).
  • Corrente elétrica é a taxa de variação da carga que atravessa o ponto por unidade de tempo. A unidade de corrente é o ampere ( \text{A}), que equivale a \text{coulomb por segundo}.
    Intuição: se muitas cargas passam rápido, a corrente é grande; se poucas cargas passam devagar, a corrente é pequena.

Passo 3

Relação média entre carga e corrente num intervalo finito.
Se entre os instantes t_1 e t_2 a carga que passou foi \Delta Q = Q(t_2)-Q(t_1) e o intervalo de tempo é \Delta t = t_2-t_1, a corrente média nesse intervalo é definida por
I_{\text{média}}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}.é
Explicando: isto é simplesmente “quantos coulombs passaram por segundo, em média, naquele intervalo”. Em prova, se te derem duas marcas de tempo e a carga total entre elas, usa essa fórmula.

Passo 4

Relação instantânea (quando a corrente varia com o tempo).
A corrente instantânea I(t) é o limite da corrente média quando o intervalo de tempo tende a zero. Em cálculo isso vira derivada:
I(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{dQ}{dt}.
O que isso significa na prática: \dfrac{dQ}{dt} diz a velocidade com que a carga está passando pelo ponto naquele instante t. Se souber Q(t), basta derivar para obter I(t); se souber I(t), integra‑se para obter Q(t) (veja próximo passo).

Passo 5

Expressão de Q em função de I (integral).
Se a corrente varia no tempo e se conhece I(t), a carga que passa entre t_1 e t_2 é a integral da corrente:
\Delta Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t)\,dt.
Mais geral, a carga acumulada até t partindo de um instante inicial t_0 com carga inicial Q(t_0) é
Q(t)=Q(t_0)+\int_{t_0}^{t} I(s)\,ds.
Interpretação prática: a integral é a "área sob a curva I(t)" entre os tempos dados — essa área (em unidades \text{A}\cdot\text{s}=\text{C}) é a carga total que passou.

Passo 6

Caso especial útil em provas: corrente constante.
Se a corrente é constante, I(t)=I (constante), então a integral fica muito simples:
\Delta Q=\int_{t_1}^{t_2} I\,dt = I\,(t_2-t_1)=I\,\Delta t.
Isso é ótimo para cálculos rápidos na prova: multiplica corrente pelo tempo.

Passo 7

Exemplo numérico 1 — corrente constante (para fixar).
Suponha I=2\\ \text{A} durante \Delta t=5\\ \text{s}. A carga que passa é
\Delta Q=I\Delta t=2\cdot 5=10\\ \text{C}.
Passo a passo: corrente em ampere é coulomb por segundo, então 2\\ \text{A} significa 2\\ \text{C/s}. Em 5 s passam 2\cdot5=10\\ \text{C}. Fácil e direto.

Passo 8

Exemplo numérico 2 — corrente variável (para praticar integral).
Suponha I(t)=3t\\ \text{A} para 0\le t\le 2\\ \text{s}. Calcular \Delta Q entre 0 e 2 s.
Calcula a integral:
\Delta Q=\int_{0}^{2} 3t\,dt = 3\int_{0}^{2} t\,dt = 3\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=3\cdot\frac{4}{2}=3\cdot2=6\\ \text{C}.
Explicando: primeiro fatorou o 3, integrou t para obter t^{2}/2, avaliou nos limites e multiplicou.

Passo 9

Observações práticas e dicas de prova (pequenas e úteis).
  • Se der um gráfico de I(t), a carga entre dois instantes é a área sob a curva entre esses instantes.
  • Se der uma tabela discreta de I em instantes, aproxime a integral por soma (trapézio ou retângulos) se pedirem aproximação.
  • Sinal da corrente: corrente negativa indica que a carga líquida passa no sentido oposto ao definido como positivo; ao integrar, o sinal é levado em conta.
  • Relação média/instantânea: I_{\text{média}}=\dfrac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2} I(t)\,dté, e \lim_{\Delta t\to0}I_{\text{média}}=I(t)é.

Resposta

I(t)=\frac{dQ}{dt}
\Delta Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t)\,dt
\text{Se }I=\text{constante, então }\Delta Q=I\,\Delta tã

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