E7.22 Um míssil de alto desempenho para o lançamento de um satélite possui um sistema com realimentação unitária com a função de transferência em malha
Esboce o lugar geométrico das raízes à medida que
varia de
.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o lugar geométrico das raízes (root locus) do sistema de realimentação unitária quando
.
Informações dadas (já estão todas no enunciado):
Informações dadas (já estão todas no enunciado):
Vou usar essa função em malha aberta para construir o root locus e mostrar passo a passo como fazer o esboço.
Passo 2
Identificar polos e zeros da função em malha aberta
(sem o ganho
).
As zeros são raízes de
:
Os polos são raízes de
:
Resumo (valores aproximados):
- polos:
. - zeros:
.
Passo 3
Regras iniciais do root locus (explicando a teoria necessária, passo a passo):
- O número de ramos do root locus é igual ao número de polos abertos (aqui 3).
- Cada ramo começa em um polo (quando
) e termina em um zero (quando ). Aqui há 3 zeros finitos, logo nenhum ramo vai para infinito: não há assíntotas. - O root locus é simétrico em relação ao eixo real (porque coeficientes reais).
- Um ponto real
pertence ao locus se o número de polos e zeros de à direita de (contando todos, inclusive os complexos pela sua parte real) for ímpar. Essa é a regra do eixo real.
Passo 4
Determinar os segmentos do eixo real que pertencem ao root locus (aplicando a regra explicada).
Ordenando as partes reais dos polos/zeros:
, zeros complexos com parte real
(os dois zeros
),
,
,
.
Verificação por intervalos (contando todos os polos/zeros com parte real maior que o ponto testado):
- Região
: nenhuma entidade à direita 0 (par) ⇒ não pertence. - Região entre
e (por exemplo ): à direita está ⇒ 1 (ímpar) ⇒ pertence. - Região entre
e (por exemplo ): à direita estão e os dois zeros com parte real ⇒ total 3 (ímpar) ⇒ pertence. - Região entre
e (por exemplo ): à direita estão , os dois zeros com parte real e ⇒ total 4 (par) ⇒ não pertence. - Região entre
e (por exemplo ): à direita estão , os dois zeros com parte real , e ⇒ total 5 (ímpar) ⇒ pertence. - Região
: todas as 6 entidades estão à direita ⇒ 6 (par) ⇒ não pertence.
Conclusão dos segmentos reais do locus:
- O eixo real pertence ao locus em
(ou seja, entre e ) e em .
Passo 5
Explicar onde os ramos começam e terminam (mapeamento qualitativo) e justificar:
- Há 3 ramos que começam nos polos
, , . - Há 3 zeros finais:
e . - Observando os segmentos do eixo real: existe um segmento real entre
e — portanto um ramo que parte de segue sobre o eixo real até chegar em (quando aumenta). Logo o polo conecta com o zero . - Os outros dois polos (
e ) estão ligados ao segmento real entre e . Esses dois ramos se aproximam um do outro ao aumentarmos , encontram-se em um ponto de breakaway (ou break-in) sobre o eixo real entre e , e então deixam o eixo real em conjugados complexos, indo terminar nos zeros . Assim e (em termos de destinos).
Passo 6
Calcular o ponto de breakaway (ponto onde dois ramos que estão sobre o eixo real se encontram e partem para o plano complexo). Método e teoria:
- A equação característica do sistema em realimentação unitária é
. Para pontos reais do locus temos . - Pontos de breakaway/break-in são extremos de
como função de real, logo satisfazem . - Escrevemos
com
Então
A condição
leva a
Calculei
e
e desenvolvi o produto; isso reduz a uma equação polinomial de quarto grau:
Resolvendo numericamente essa equação (procura-se as raízes reais e escolhe-se a que está no segmento
) obtém-se um ponto real de interesse:
Passo 7
Calcular o valor de
no ponto de breakaway e localizar cruzamento no eixo imaginário simples (exemplos úteis para a prova).
Valor de
no breakaway:
Aproximando os polinômios nesse
obtive
Verificação de um ponto mais simples atravessado pelo ramo:
pertence ao segmento
, então podemos achar
tal que haja pólo fechado em
:
Isso significa: para
um dos pólos fechados está exatamente em
. Observação útil:
, então o ramo que vinha de
cruza o eixo imaginário (em
) antes de alcançar o ponto de breakaway; depois os dois ramos se encontram em
(para
) e partem para os zeros complexos.
Passo 8
Características finais do desenho e implicações:
- Não há assíntotas (nº de polos = nº de zeros = 3).
- Simetria em relação ao eixo real.
- Trajetórias principais:
- Um ramo parte de
e percorre o eixo real até quando aumenta. - Dois ramos partem de
e , percorrem o eixo real no intervalo , cruzam para , juntam-se em (breakaway, ) e daí seguem simetricamente para os zeros .
- Um ramo parte de
- Como os zeros complexos finais estão exatamente sobre o eixo imaginário (
), para os dois ramos terminam em pontos sobre o eixo imaginário; isso indica que, em limite, o sistema tende a ter pólos fechados sobre o eixo imaginário (marginalidade).
Passo 9
Instruções práticas para esboçar no papel (resumindo o que desenhar):
- Marque os polos com
em . - Marque os zeros com
em e em . - Trace o ramo real ligando
a (sobre o eixo real). - Trace os ramos entre
e sobre o eixo real; marque (onde ) e o ponto de breakaway (onde ). A partir desse ponto faça os dois ramos saírem simetricamente para cima e para baixo e terminarem em . - Indique a direção dos ramos (começam nos polos quando
e vão para os zeros quando ).
Resposta
Polos:
,
,
.
Zeros: ,
.
Segmentos do eixo real pertencentes ao locus: e
.
Ponto de breakaway no eixo real: com
.
Cruzamento em para
.
Conexões finais: ramo (sobre o real) e ramos
,
.
Sem assíntotas (nº polos = nº zeros), simetria em relação ao eixo real.
Zeros:
Segmentos do eixo real pertencentes ao locus:
Ponto de breakaway no eixo real:
Cruzamento em
Conexões finais: ramo
Sem assíntotas (nº polos = nº zeros), simetria em relação ao eixo real.