E7.22 Um míssil de alto desempenho para o lançamento de um satélite possui um sistema com realimentação unitária com a função de transferência em malha
G_{c}(s) G(s)=\frac{K\left(s^{2}+18\right)(s+2)}{\left(s^{2}-2\right)(s+12)}
Esboce o lugar geométrico das raízes à medida que K varia de 0<K<\infty.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o lugar geométrico das raízes (root locus) do sistema de realimentação unitária quando 0<K<\infty.
Informações dadas (já estão todas no enunciado):
G_{c}(s)G(s)=\frac{K\left(s^{2}+18\right)(s+2)}{\left(s^{2}-2\right)(s+12)}.
Vou usar essa função em malha aberta para construir o root locus e mostrar passo a passo como fazer o esboço.

Passo 2

Identificar polos e zeros da função em malha aberta L(s)=G_c(s)G(s) (sem o ganho K).
As zeros são raízes de \left(s^{2}+18\right)(s+2):
\text{zeros: } s=-2,\quad s=\pm j\sqrt{18}=\pm j\,4{,}242640\ldots
Os polos são raízes de \left(s^{2}-2\right)(s+12):
\text{polos: } s=\pm\sqrt{2}=\pm 1{,}41421356\ldots,\quad s=-12.
Resumo (valores aproximados):
  • polos: s=+ \sqrt{2}\approx +1{,}414,\; s=-\sqrt{2}\approx -1{,}414,\; s=-12.
  • zeros: s=-2,\; s=\pm j\,4{,}243.

Passo 3

Regras iniciais do root locus (explicando a teoria necessária, passo a passo):
  • O número de ramos do root locus é igual ao número de polos abertos (aqui 3).
  • Cada ramo começa em um polo (quando K\to 0) e termina em um zero (quando K\to\infty). Aqui há 3 zeros finitos, logo nenhum ramo vai para infinito: não há assíntotas.
  • O root locus é simétrico em relação ao eixo real (porque coeficientes reais).
  • Um ponto real x pertence ao locus se o número de polos e zeros de L(s) à direita de x (contando todos, inclusive os complexos pela sua parte real) for ímpar. Essa é a regra do eixo real.

Passo 4

Determinar os segmentos do eixo real que pertencem ao root locus (aplicando a regra explicada).
Ordenando as partes reais dos polos/zeros: +\sqrt{2}\,( \approx +1{,}414), zeros complexos com parte real 0 (os dois zeros \pm j4{,}243), -\sqrt{2}\,( \approx -1{,}414), -2, -12.
Verificação por intervalos (contando todos os polos/zeros com parte real maior que o ponto testado):
  • Região x>+\sqrt{2}: nenhuma entidade à direita \Rightarrow 0 (par) ⇒ não pertence.
  • Região entre +\sqrt{2} e 0 (por exemplo x=1): à direita está +\sqrt{2} ⇒ 1 (ímpar) ⇒ pertence.
  • Região entre 0 e -\sqrt{2} (por exemplo x=-0{,}5): à direita estão +\sqrt{2} e os dois zeros com parte real 0 ⇒ total 3 (ímpar) ⇒ pertence.
  • Região entre -\sqrt{2} e -2 (por exemplo x=-1{,}5): à direita estão +\sqrt{2}, os dois zeros com parte real 0 e -\sqrt{2} ⇒ total 4 (par) ⇒ não pertence.
  • Região entre -2 e -12 (por exemplo x=-3): à direita estão +\sqrt{2}, os dois zeros com parte real 0, -\sqrt{2} e -2 ⇒ total 5 (ímpar) ⇒ pertence.
  • Região x<-12: todas as 6 entidades estão à direita ⇒ 6 (par) ⇒ não pertence.
Conclusão dos segmentos reais do locus:
  • O eixo real pertence ao locus em \left(-\sqrt{2}, +\sqrt{2}\right) (ou seja, entre s\approx -1{,}414 e s\approx +1{,}414) e em (-12,-2).

Passo 5

Explicar onde os ramos começam e terminam (mapeamento qualitativo) e justificar:
  • Há 3 ramos que começam nos polos +\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -12.
  • Há 3 zeros finais: -2 e \pm j\sqrt{18}.
  • Observando os segmentos do eixo real: existe um segmento real entre -12 e -2 — portanto um ramo que parte de s=-12 segue sobre o eixo real até chegar em s=-2 (quando K aumenta). Logo o polo s=-12 conecta com o zero s=-2.
  • Os outros dois polos ( s=+\sqrt{2} e s=-\sqrt{2}) estão ligados ao segmento real entre -\sqrt{2} e +\sqrt{2}. Esses dois ramos se aproximam um do outro ao aumentarmos K, encontram-se em um ponto de breakaway (ou break-in) sobre o eixo real entre -\sqrt{2} e +\sqrt{2}, e então deixam o eixo real em conjugados complexos, indo terminar nos zeros \pm j\sqrt{18}. Assim +\sqrt{2}\to j\sqrt{18} e -\sqrt{2}\to -j\sqrt{18} (em termos de destinos).

Passo 6

Calcular o ponto de breakaway (ponto onde dois ramos que estão sobre o eixo real se encontram e partem para o plano complexo). Método e teoria:
  • A equação característica do sistema em realimentação unitária é 1+K L(s)=0. Para pontos reais do locus temos K=-1/L(s).
  • Pontos de breakaway/break-in são extremos de K(s) como função de s real, logo satisfazem \dfrac{dK}{ds}=0.
  • Escrevemos L(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)} com
N(s)= (s^2+18)(s+2)=s^3+2s^2+18s+36,
D(s)= (s^2-2)(s+12)=s^3+12s^2-2s-24.
Então
K(s)=-\frac{D(s)}{N(s)}.
A condição \dfrac{dK}{ds}=0 leva a
D'(s)N(s)-D(s)N'(s)=0.
Calculei N'(s)=3s^2+4s+18 e D'(s)=3s^2+24s-2 e desenvolvi o produto; isso reduz a uma equação polinomial de quarto grau:
s^{4}-4s^{3}-40s^{2}-96s-36=0.
Resolvendo numericamente essa equação (procura-se as raízes reais e escolhe-se a que está no segmento (- \sqrt{2},+\sqrt{2})) obtém-se um ponto real de interesse:
s_{\text{break}}\approx -0{,}458\quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Calcular o valor de K no ponto de breakaway e localizar cruzamento no eixo imaginário simples (exemplos úteis para a prova).
Valor de K no breakaway:
K=-\frac{D(s)}{N(s)}\quad\text{avaliado em }s\approx -0{,}458.
Aproximando os polinômios nesse s obtive
K_{\text{break}}\approx 0{,}736.
Verificação de um ponto mais simples atravessado pelo ramo: s=0 pertence ao segmento (- \sqrt{2},+\sqrt{2}), então podemos achar K tal que haja pólo fechado em s=0:
K=-\frac{D(0)}{N(0)}=-\frac{-24}{36}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\approx 0{,}6667.
Isso significa: para K=\tfrac{2}{3} um dos pólos fechados está exatamente em s=0. Observação útil: \tfrac{2}{3}<0{,}736, então o ramo que vinha de +\sqrt{2} cruza o eixo imaginário (em s=0) antes de alcançar o ponto de breakaway; depois os dois ramos se encontram em s\approx -0{,}458 (para K\approx 0{,}736) e partem para os zeros complexos.

Passo 8

Características finais do desenho e implicações:
  • Não há assíntotas (nº de polos = nº de zeros = 3).
  • Simetria em relação ao eixo real.
  • Trajetórias principais:
    • Um ramo parte de s=-12 e percorre o eixo real até s=-2 quando K aumenta.
    • Dois ramos partem de s=+\sqrt{2} e s=-\sqrt{2}, percorrem o eixo real no intervalo (- \sqrt{2},+\sqrt{2}), cruzam s=0 para K=\tfrac{2}{3}, juntam-se em s\approx -0{,}458 (breakaway, K\approx 0{,}736) e daí seguem simetricamente para os zeros \pm j\sqrt{18}.
  • Como os zeros complexos finais estão exatamente sobre o eixo imaginário ( \pm j4{,}243), para K\to\infty os dois ramos terminam em pontos sobre o eixo imaginário; isso indica que, em limite, o sistema tende a ter pólos fechados sobre o eixo imaginário (marginalidade).

Passo 9

Instruções práticas para esboçar no papel (resumindo o que desenhar):
  1. Marque os polos com \times em s\approx +1{,}414,\; -1{,}414,\; -12.
  2. Marque os zeros com \circ em s=-2 e em s=\pm j4{,}243.
  3. Trace o ramo real ligando -12 a -2 (sobre o eixo real).
  4. Trace os ramos entre +\sqrt{2} e -\sqrt{2} sobre o eixo real; marque s=0 (onde K=2/3) e o ponto de breakaway s\approx -0{,}458 (onde K\approx0{,}736). A partir desse ponto faça os dois ramos saírem simetricamente para cima e para baixo e terminarem em \pm j4{,}243.
  5. Indique a direção dos ramos (começam nos polos quando K\to 0 e vão para os zeros quando K\to\infty).

Resposta

Polos: s=+\sqrt{2}, s=-\sqrt{2}, s=-12.
Zeros: s=-2, s=\pm j\sqrt{18}.
Segmentos do eixo real pertencentes ao locus: \left(-\sqrt{2},+\sqrt{2}\right) e (-12,-2).
Ponto de breakaway no eixo real: s\approx -0{,}458 com K\approx 0{,}736.
Cruzamento em s=0 para K=\tfrac{2}{3}.
Conexões finais: ramo -12\to -2 (sobre o real) e ramos +\sqrt{2}\to j\sqrt{18}, -\sqrt{2}\to -j\sqrt{18}.
Sem assíntotas (nº polos = nº zeros), simetria em relação ao eixo real.

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