e
, mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas probabilidades: $ P(A) = \frac{2}{3} $ e $ P(B) = \frac{4}{9} $. O exercício pede pra mostrar que a probabilidade da união desses dois eventos, $ P(A \cup B) $, é pelo menos $ \frac{2}{3} $. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, como a união de eventos e a fórmula de inclusão-exclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona as probabilidades da união de dois eventos:
Isso significa que a probabilidade de $ A $ ou $ B $ acontecer é a soma das probabilidades individuais menos a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo.
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que $ P(A \cup B) \geq \frac{2}{3} $. Vamos reorganizar a fórmula para facilitar:
Primeiro, somamos $ \frac{2}{3} $ e $ \frac{4}{9} $:
Então, temos:
Passo 4
Para encontrar um valor mínimo para $ P(A \cup B) $, precisamos considerar o valor máximo que $ P(A \cap B) $ pode ter. Sabemos que $ P(A \cap B) $ não pode ser maior do que $ P(B) $, pois $ B $ está dentro de $ A \cup B $. Então:
Passo 5
Substituindo o valor máximo de $ P(A \cap B) $ na equação de $ P(A \cup B) $:
Resposta
Portanto, $ P(A \cup B) \geq \frac{2}{3} $.