P5.26 A 22.0 g mass of ice at 273 K is added to 136 g of \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(l) at 310 . \mathrm{K} at constant pressure. Is the final state of the system ice or liquid water? Calculate \Delta S for the process. Is the process spontaneous?
P5.27 Under anaerobic conditions, glucose is broken down in muscle tissue to form lactic acid according to the reaction \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}(s) \rightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHOHCOOH}(s). Thermodynamic data at T=298 \mathrm{~K} for glucose and lactic acid are given in the following table:
\boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{H}_{\boldsymbol{f}}^{\circ}\left(\mathbf{k J} \mathbf{~ m o l}^{-\mathbf{1}}\right) \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{P}, \boldsymbol{m}}\left(\mathbf{J ~ K}^{-\mathbf{1}} \mathbf{m o l}^{-\mathbf{1}}\right) \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{m}}^{\circ}\left(\mathbf{J ~ K}^{-\mathbf{1}} \mathbf{m o l}^{-\mathbf{1}}\right)
Glucose -1273.1 219.2 209.2
Lactic -673.6 127.6 192.1
Acid

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado dá e pede, para não nos perdermos.
Para P5.26:
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Massa de gelo: m_{\text{gelo}}=22{,}0\\ \text{g} à temperatura inicial T_{\text{gelo,i}}=273\\ \text{K}.
    • Massa de água líquida: m_{\text{água}}=136\\ \text{g}á à temperatura inicial T_{\text{água,i}}=310\\ \text{K}á.
    • Processo a pressão constante (assume-se ambiente a 1\\ \text{atm} e isolamento térmico do conjunto — ou seja, somente gelo e água trocam calor entre si).
  • Perguntas:
    1. O estado final é gelo ou água líquida?
    2. Calcular \Delta S do processo (entropia do sistema formado por gelo+água).
    3. O processo é espontâneo?
Para P5.27:
  • Dados (pego os valores da tabela do enunciado, todos a T=298\\ \text{K}):
    • Glucose:
      • \Delta H_f^\circ(\text{glucose}) = -1273{,}1\\ \text{kJ mol}^{-1}
      • C_{P,m}(\text{glucose}) = 219{,}2\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}
      • S_m^\circ(\text{glucose}) = 209{,}2\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}
    • Ácido lático:
      • \Delta H_f^\circ(\text{lactic}) = -673{,}6\\ \text{kJ mol}^{-1}
      • C_{P,m}(\text{lactic}) = 127{,}6\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}
      • S_m^\circ(\text{lactic}) = 192{,}1\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}
  • Reação: \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}(s)\rightarrow 2\\ \mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHOHCOOH}(s).
  • Perguntas implícitas:
    1. Calcular \Delta H^\circ da reação a 298\\ \text{K}.
    2. Calcular \Delta S^\circ da reação a 298\\ \text{K}.
    3. Avaliar se a reação é espontânea em 298\\ \text{K} (usando \Delta G^\circ).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e concreta):
  • Conservação de energia (primeira lei) para misturar gelo e água isolados: o calor perdido pela água quente é igual ao calor ganho pelo gelo (para derreter e depois aquecer o líquido resultante). Em fórmulas: q_{\text{perdido,água}} = q_{\text{ganho,gelo}}.áCom calor sensível com capacidade calorífica quase constante: q = m c \Delta T. Para fusão: q = m L_f onde L_f é o calor latente de fusão por massa.
  • Entropia para um corpo que muda de temperatura com c praticamente constante: \Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_{\text{final}}}{T_{\text{inicial}}}\right).Para uma fusão reversível à temperatura de fusão T_{\text{fus}}: \Delta S_{\text{fus}} = \frac{q_{\text{fus}}}{T_{\text{fus}}} = \frac{m L_f}{T_{\text{fus}}}.
  • Para reações químicas padrão a 298\\ \text{K}: usar energia de formação para \Delta H^\circ (produtos menos reagentes) e entropias molares padrão para \Delta S^\circ. Depois: \Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\Delta S^\circ.Se \Delta G^\circ<0 a reação é espontânea nas condições padrão.
Valores numéricos usuais que vou usar (valores padrão de água/ gelo):
  • Calor específico da água líquida: c_{\ell}=4{,}18\\ \text{J g}^{-1}\text{K}^{-1}.
  • Calor específico do gelo (não precisamos aqui porque gelo está em 273\\ \text{K} exatamente): c_{\text{gelo}}\approx2{,}09\\ \text{J g}^{-1}\text{K}^{-1} (só para referência).
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f = 333{,}55\\ \text{J g}^{-1} (equivalente a \approx6{,}01\\ \text{kJ mol}^{-1}). Vou declarar explicitamente que estou usando esses valores.

Passo 3

Resolver P5.26 — primeiro decidir se o gelo derrete completamente.
  1. Calcular o calor disponível ao resfriar a água de 310\\ \text{K} até a temperatura de fusão 273\\ \text{K} (isso é o máximo de calor que pode ser cedido antes que a temperatura chegue a 273\\ \text{K}):
q_{\text{disponível}}=m_{\text{água}} c_{\ell} (310-273).íá
Substituindo m_{\text{água}}=136\\ \text{g}á e c_{\ell}=4{,}18\\ \text{J g}^{-1}\text{K}^{-1}:
q_{\text{disponível}}=136\cdot4{,}18\cdot(37)=568{,}48\cdot37=210\,228{,}? \\ \text{J}.í
Calcule com precisão:
568{,}48\times37 = 21\,030{,}? \\ \text{J} .
(Fazendo a conta: 568{,}48\cdot37=21\,030{,} - arredondando → 21{,}030\\ \text{J} ou 21{,}03\\ \text{kJ}.)
  1. Calor necessário para fundir todo o gelo:
q_{\text{fusão}}=m_{\text{gelo}} L_f = 22{,}0\\ \text{g}\times333{,}55\\ \text{J g}^{-1}=7\,338{,}1\\ \text{J}\approx7{,}34\\ \text{kJ}.ã
Comparando: q_{\text{disponível}}\approx21{,}03\\ \text{kJ} > q_{\text{fusão}}\approx7{,}34\\ \text{kJ}íã. Logo há calor suficiente para derreter todo o gelo. Conclusão provisória: todo o gelo derrete e o estado final será água líquida (com temperatura >273\\ \text{K}).

Passo 4

Determinar a temperatura final \,T_f do sistema (a água fria obtida do gelo + a água original se equilibra a uma mesma temperatura).
Escrever balanço de energia (calor perdido pela água quente = calor usado para fundir gelo + calor para aquecer a água derretida):
m_{\text{água}} c_{\ell}(310-T_f) = m_{\text{gelo}} L_f + m_{\text{gelo}} c_{\ell}(T_f-273).á
Colocando números:
136\cdot4{,}18\,(310-T_f) = 22{,}0\cdot333{,}55 + 22{,}0\cdot4{,}18\,(T_f-273).
Para simplificar, calcule constantes:
m_{\text{água}} c_{\ell} = 136\cdot4{,}18 = 568{,}48\\ \text{J K}^{-1},á
m_{\text{gelo}} c_{\ell} = 22{,}0\cdot4{,}18 = 91{,}96\\ \text{J K}^{-1},
m_{\text{gelo}} L_f = 7\,338{,}1\\ \text{J}.
Substituindo:
568{,}48(310-T_f) = 7\,338{,}1 + 91{,}96(T_f-273).
Resolvendo para T_f:
568{,}48\cdot310 - 568{,}48 T_f = 7\,338{,}1 + 91{,}96 T_f - 91{,}96\cdot273,
(568{,}48+91{,}96)T_f = 568{,}48\cdot310 + 91{,}96\cdot273 - 7\,338{,}1.
Calcule numericamente:
\text{Denominador }=660{,}44\\ \text{J K}^{-1}.
\text{Numerador }=568{,}48\cdot310 + 91{,}96\cdot273 - 7\,338{,}1 =176\,228{,}8 + 25\,105{,}08 - 7\,338{,}1 =193\,995{,}78\\ \text{J}.
Logo
T_f = \frac{193\,995{,}78}{660{,}44} \approx 293{,}75\\ \text{K}.
Interpretação prática: T_f\approx293{,}75\\ \text{K}, ou seja cerca de 20{,}6^\circ\text{C}. Confirma que T_f>273\\ \text{K}, então realmente todo o gelo derreteu e o sistema final é água líquida.

Passo 5

Calcular \Delta S do processo (entropia total do sistema gelo+água). Vou somar a contribuição da água quente (que esfria) e a contribuição do gelo (que primeiro funde, à 273\\ \text{K}, e depois o líquido resultante aquece de 273\\ \text{K} até T_f).
Contribuições:
  1. Água quente (massa m_{\text{água}}á) que vai de 310\\ \text{K} a T_f:
\Delta S_{\text{água}} = m_{\text{água}} c_{\ell} \ln\!\left(\frac{T_f}{310}\right).áá
  1. Gelo que funde reversivelmente à 273\\ \text{K}:
\Delta S_{\text{fusão}} = \frac{m_{\text{gelo}} L_f}{273}.ã
  1. Água formada pelo gelo, aquecida de 273\\ \text{K} a T_f:
\Delta S_{\text{aquec,derretida}} = m_{\text{gelo}} c_{\ell} \ln\!\left(\frac{T_f}{273}\right).
Total:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{água}} + \Delta S_{\text{fusão}} + \Delta S_{\text{aquec,derretida}}.áã
Agora plugando valores numéricos (usar T_f=293{,}75\\ \text{K} e as constantes já calculadas):
  • m_{\text{água}} c_{\ell} = 568{,}48\\ \text{J K}^{-1}á.
  • m_{\text{gelo}} L_f = 7\,338{,}1\\ \text{J}.
  • m_{\text{gelo}} c_{\ell} = 91{,}96\\ \text{J K}^{-1}.
Calcule cada termo:
a) Água quente:
\Delta S_{\text{água}} = 568{,}48\cdot\ln\!\left(\frac{293{,}75}{310}\right) =568{,}48\cdot\ln(0{,}94724)\approx568{,}48\cdot(-0{,}05435)\approx -30{,}89\\ \text{J K}^{-1}.á
b) Fusão:
\Delta S_{\text{fusão}} = \frac{7\,338{,}1}{273}\approx 26{,}888\\ \text{J K}^{-1}.ã
c) Aquecimento da água derretida:
\Delta S_{\text{aquec}} = 91{,}96\cdot\ln\!\left(\frac{293{,}75}{273}\right) =91{,}96\cdot\ln(1{,}07517)\approx91{,}96\cdot0{,}07247\approx 6{,}67\\ \text{J K}^{-1}.
Somando:
\Delta S_{\text{total}} \approx -30{,}89 + 26{,}89 + 6{,}67 \approx 2{,}67\\ \text{J K}^{-1}.
Interpretação: a entropia total do sistema aumenta ligeiramente, cerca de 2{,}67\\ \text{J K}^{-1}. O valor positivo é pequeno mas diferente de zero.

Passo 6

Interpretação da espontaneidade para P5.26:
  • Se assumimos que o conjunto (gelo + água) está isolado termicamente do resto do mundo (ou seja, o processo ocorre sem trocas de calor com o ambiente), então a condição de espontaneidade é que a entropia total do sistema isolado aumente: \Delta S_{\text{total}}>0. Encontramos \Delta S_{\text{total}}\approx +2{,}67\\ \text{J K}^{-1}>0, portanto o processo é espontâneo sob essas condições (o gelo derreter para formar água a T_f ocorre espontaneamente).
  • Comentário físico-amigável: a água quente cedeu calor; parte desse calor foi usado para fundir o gelo (que aumenta a entropia pela fusão) e parte aqueceu a água resultante; no balanço, o ganho de entropia pelo gelo derretido+aquecido foi um pouco maior que a perda de entropia da água que esfriou, daí o \Delta S>0.

Passo 7

Resolver P5.27 — calcular \Delta H^\circ, \Delta S^\circ e avaliar espontaneidade a 298\\ \text{K}.
  1. Fórmula para entalpia padrão de reação usando entalpias de formação:
\Delta H^\circ_{\text{rxn}} = \sum \Delta H_f^\circ(\text{produtos}) - \sum \Delta H_f^\circ(\text{reagentes}).
Aqui:
\Delta H^\circ = 2\cdot\Delta H_f^\circ(\text{lactic}) - 1\cdot\Delta H_f^\circ(\text{glucose}).
Substituindo números (atenção às unidades: \text{kJ mol}^{-1}):
\Delta H^\circ = 2(-673{,}6) - (-1273{,}1) = -1347{,}2 +1273{,}1 = -74{,}1\\ \text{kJ mol}^{-1}.
Conclusão: reação exotérmica com \Delta H^\circ = -74{,}1\\ \text{kJ mol}^{-1}.
  1. Entropia padrão da reação:
\Delta S^\circ = 2\cdot S_m^\circ(\text{lactic}) - S_m^\circ(\text{glucose}).
Substituindo (unidades \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}):
\Delta S^\circ = 2(192{,}1) - 209{,}2 = 384{,}2 - 209{,}2 = 175{,}0\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}.
Observação: \Delta S^\circ é positivo — faz sentido físico porque há aumento no número de moléculas (1 mol de glucose → 2 mols de ácido lático), aumentando a desordem configuracional.
  1. Energia livre padrão \Delta G^\circ a T=298\\ \text{K}:
    Converter unidades para consistência: \Delta S^\circ = 175{,}0\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1} = 0{,}1750\\ \text{kJ K}^{-1}\text{ mol}^{-1}.
\Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\Delta S^\circ = -74{,}1\\ \text{kJ mol}^{-1} - 298\cdot0{,}1750\\ \text{kJ K}^{-1}\text{ mol}^{-1}.
Calcule:
T\Delta S^\circ = 298\cdot0{,}1750 = 52{,}15\\ \text{kJ mol}^{-1}.
Então
\Delta G^\circ = -74{,}1 - 52{,}15 = -126{,}25\\ \text{kJ mol}^{-1}\approx -126{,}3\\ \text{kJ mol}^{-1}.
Conclusão: \Delta G^\circ<0 a 298\\ \text{K}, portanto a reação é espontânea sob condições padrão.

Resposta

P5.26 O estado final é água líquida (todo o gelo derrete). \Delta S_{\text{total}}\approx 2{,}67\\ \text{J K}^{-1}. O processo é espontâneo (para o sistema isolado), pois \Delta S_{\text{total}}>0.
P5.27 \Delta H^\circ = -74{,}1\\ \text{kJ mol}^{-1}. \Delta S^\circ = 175{,}0\\ \text{J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}. \Delta G^\circ(298\\ \text{K})\approx -126{,}3\\ \text{kJ mol}^{-1} (reação espontânea a 298\\ \text{K}).

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