23 De quantas maneiras 8 meninos e 8 meninas podem formar uma roda para brincar sem que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de disposições circulares de 8 meninos e 8 meninas em que não aparecem dois da mesma cor juntos. O conteúdo necessário é permutação circular (para eliminar simetrias de rotação) e o princípio de colocar os outros elementos nas lacunas.

Passo 2

Primeiro, colocamos os 8 meninos em volta de uma roda. O número de maneiras de dispor n objetos em círculo é (n-1)!. Aqui temos n=8, logo as permutações dos meninos são
(8-1)! = 7!.

Passo 3

Depois de fixar os meninos, entre cada par de meninos há exatamente uma “lacuna” livre, totalizando 8 lacunas. Para evitar que meninas fiquem juntas, colocamos uma menina em cada lacuna. O número de maneiras de permutar as 8 meninas nessas lacunas é
8!.

Passo 4

Como as escolhas são independentes, multiplicamos:
\text{Total} = 7! \times 8!.

Resposta

7! \times 8! = 203212800

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