23 De quantas maneiras 8 meninos e 8 meninas podem formar uma roda para brincar sem que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado pede o número de disposições circulares de
meninos e
meninas em que não aparecem dois da mesma cor juntos. O conteúdo necessário é permutação circular (para eliminar simetrias de rotação) e o princípio de colocar os outros elementos nas lacunas.
Passo 2
Primeiro, colocamos os
meninos em volta de uma roda. O número de maneiras de dispor
objetos em círculo é
. Aqui temos
, logo as permutações dos meninos são
Passo 3
Depois de fixar os meninos, entre cada par de meninos há exatamente uma “lacuna” livre, totalizando
lacunas. Para evitar que meninas fiquem juntas, colocamos uma menina em cada lacuna. O número de maneiras de permutar as
meninas nessas lacunas é
Passo 4
Como as escolhas são independentes, multiplicamos: