24.28 Protein mixtures in aqueous solution are commonly separated by molecular sieve chromatography. An important aspect of this separation process is the diffusion of the protein into the porous matrix of the chromatography support used to affect the separation. Estimate the effective diffusion coefficient of the enzyme urease in a silica gel support with 100 nm diameter pores. The molecular diffusion coefficient of urease in water at infinite dilution is 3.46 \times 10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} at 298^{\circ} \mathrm{K}, and the diameter of the molecule is 12.38 nm .

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa do coeficiente de difusão efetivo de urease dentro de poros cilíndricos de diâmetro 100\:\mathrm{nm}. O coeficiente de difusão em meio livre (água) é
D_{\infty} = 3{,}46\times 10^{-7}\:\mathrm{cm^2/s},
e o diâmetro da molécula é 12{,}38\:\mathrm{nm}. Para levar em conta o efeito de confinamento nos poros, vamos usar a correlação de Renkin, que dá a razão
\frac{D_{\mathrm{ef}}}{D_{\infty}} = (1-\lambda)^2\Bigl(1-2{,}1044\,\lambda+2{,}09\,\lambda^3-0{,}95\,\lambda^5\Bigr),
onde \lambda é a razão entre o raio da molécula e o raio do poro.

Passo 2

Calcular \lambda. O raio da molécula é metade do seu diâmetro e idem para o poro:
\lambda = \frac{r_{\rm mol}}{r_{\rm poro}} = \frac{(12{,}38\:\mathrm{nm})/2}{(100\:\mathrm{nm})/2} = \frac{6{,}19}{50} = 0{,}1238.

Passo 3

Avaliar o fator de redução de difusão pela correlação de Renkin:
(1-\lambda)^2 = (1-0{,}1238)^2 = 0{,}8762^2 = 0{,}7677,
1-2{,}1044\,\lambda+2{,}09\,\lambda^3-0{,}95\,\lambda^5 =1 - 2{,}1044\cdot0{,}1238 + 2{,}09\,(0{,}1238)^3 - 0{,}95\,(0{,}1238)^5 \approx 0{,}7432.
Logo, o fator global é
\frac{D_{\mathrm{ef}}}{D_{\infty}} \approx 0{,}7677\times0{,}7432 = 0{,}5705.

Passo 4

Obter o coeficiente efetivo:
D_{\mathrm{ef}} = D_{\infty}\times0{,}5705 = 3{,}46\times10^{-7}\:\mathrm{cm^2/s}\times0{,}5705 \approx 1{,}97\times10^{-7}\:\mathrm{cm^2/s}.

Resposta

O coeficiente de difusão efetivo da urease dentro dos poros de 100\:\mathrm{nm} é aproximadamente
D_{\mathrm{ef}}\approx1{,}97\times10^{-7}\:\mathrm{cm^2/s}.

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