7.24 Condutores filamentares, infinitamente longos, estão localizados no plano y=0 em x=n metros, onde n=0, \pm 1, \pm 2, ··· Cada condutor conduz 1 A na direção
\mathbf{a}_{z}. (a) Encontre
\mathbf{H} no eixo y. Como um auxílio,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y}{y^{2}+n^{2}}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{\pi}{e^{2 \pi y}-1}
(b) Compare o resultado da parte (a) àquele obtido no caso em que os filamentos são substituídos por uma lâmina de corrente, no plano y=0, que conduz uma densidade superficial de corrente K=1 a_{z} A / m.

Passo 1

O enunciado descreve uma rede infinita de fios condutores, todos paralelos ao eixo z, localizados em y=0 e em x=n com n=0,\pm1,\pm2,\dots. Cada fio conduz corrente I=1,A na direção \mathbf{a}_{z}. Pede-se o campo magnético \mathbf{H} ao longo do eixo y (ou seja, em x=0, y>0), usando superposição de Biot–Savart, e depois comparar com o resultado de uma lâmina de corrente superficial K=1\,\mathbf{a}_{z} A/m em y=0.

Passo 2

O campo de um fio infinito que conduz corrente I e está na origem de um sistema cilíndrico é
\mathbf{H} \;=\;\frac{I}{2\pi\rho}\,\boldsymbol{a}_{\varphi},
onde \rho é a distância radial ao eixo do fio e \boldsymbol{a}_{\varphi} é o versor azimutal definido por \boldsymbol{a}_{\varphi}= \mathbf{a}_{z}\times\boldsymbol{a}_{\rho}.

Passo 3

No ponto (x,y)=(0,y) a distância até o fio em x=n é \rho_n=\sqrt{n^2+y^2}. O campo de cada fio vale
\mathbf{H}_n =\frac{1}{2\pi\,\rho_n}\,\boldsymbol{a}_{\phi_n} =\frac{1}{2\pi(n^2+y^2)}\bigl(-y\,\mathbf{a}_{x}-n\,\mathbf{a}_{y}\bigr),
onde se usou \boldsymbol{a}_{\phi_n}=(\mathbf{a}_{z}\times\boldsymbol{a}_{\rho_n}). Ao somar sobre n=-\infty\dots\infty, os termos em \mathbf{a}_{y} cancelam por simetria n\to -n, restando
H_{x} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Bigl[-\frac{y}{2\pi(n^2+y^2)}\Bigr] =-\frac{y}{2\pi y^2}-\frac{y}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+y^2}.

Passo 4

Use a soma fornecida:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y}{y^{2}+n^{2}} =\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2y}+\frac{\pi}{e^{2\pi y}-1}.
Logo
H_{x} =-\frac{1}{2\pi y}-\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2y}+\frac{\pi}{e^{2\pi y}-1}\Bigr).
Reagrupando os termos em 1/(2\pi y) que se cancelam, obtemos
H_{x} =-\frac12-\frac{1}{e^{2\pi y}-1} =-\frac12\coth(\pi y).
Como H_{y}=0, temos para y>0
\boxed{\mathbf{H}(0,y) =-\Bigl(\frac12+\frac{1}{e^{2\pi y}-1}\Bigr)\mathbf{a}_{x} =-\frac12\,\coth(\pi y)\,\mathbf{a}_{x}.}

Passo 5

No caso da lâmina de corrente em y=0 com densidade superficial \mathbf{K}=1\,\mathbf{a}_{z} A/m, a condição de contorno para \mathbf{H} atravessando a lâmina diz que o salto em \mathbf{H} é igual à corrente superficial. Para y>0 e y<0 consegue-se
\mathbf{H}(y>0)=-\frac12\,\mathbf{a}_{x}, \quad \mathbf{H}(y<0)=+\frac12\,\mathbf{a}_{x}.
Assim, a lâmina contínua produz campo constante \mathbf{H}=-\tfrac12\,\mathbf{a}_{x} acima de y=0.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{H}(0,y) =-\Bigl(\tfrac12+\tfrac1{e^{2\pi y}-1}\Bigr)\mathbf{a}_{x} =-\tfrac12\coth(\pi y)\,\mathbf{a}_{x}.
(b) Para a lâmina contínua em y=0, \displaystyle\mathbf{H}(y>0)=-\tfrac12\,\mathbf{a}_{x}, e nota-se que o resultado do item (a) tende a esse valor para y\gg1, ou seja, distante da rede discreta.

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