7.24 Condutores filamentares, infinitamente longos, estão localizados no plano y=0 em x=n metros, onde n=0, \pm 1, \pm 2, ··· Cada condutor conduz 1 A na direção
\mathbf{a}_{z}. (a) Encontre
\mathbf{H} no eixo y. Como um auxílio,
(b) Compare o resultado da parte (a) àquele obtido no caso em que os filamentos são substituídos por uma lâmina de corrente, no plano y=0, que conduz uma densidade superficial de corrente K=1 a_{z} A / m.
\mathbf{a}_{z}. (a) Encontre
\mathbf{H} no eixo y. Como um auxílio,
Passo 1
O enunciado descreve uma rede infinita de fios condutores, todos paralelos ao eixo
, localizados em
e em
com
. Cada fio conduz corrente
,A na direção
. Pede-se o campo magnético
ao longo do eixo
(ou seja, em
,
), usando superposição de Biot–Savart, e depois comparar com o resultado de uma lâmina de corrente superficial
A/m em
.
Passo 2
O campo de um fio infinito que conduz corrente
e está na origem de um sistema cilíndrico é
onde
é a distância radial ao eixo do fio e
é o versor azimutal definido por
.
Passo 3
No ponto
a distância até o fio em
é
. O campo de cada fio vale
onde se usou
. Ao somar sobre
, os termos em
cancelam por simetria
, restando
Passo 4
Use a soma fornecida:
Logo
Reagrupando os termos em
que se cancelam, obtemos
Como
, temos para
Passo 5
No caso da lâmina de corrente em
com densidade superficial
A/m, a condição de contorno para
atravessando a lâmina diz que o salto em
é igual à corrente superficial. Para
e
consegue-se
Assim, a lâmina contínua produz campo constante
acima de
.
Resposta
(a)
(b) Para a lâmina contínua em ,
e nota-se que o resultado do item (a) tende a esse valor para
, ou seja, distante da rede discreta.
(b) Para a lâmina contínua em