7.22 Um cilindro sólido de raio a e comprimento L, onde L \gg a, contém carga volumétrica de densidade uniforme \rho_{0} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. O cilindro gira em torno de seu eixo (o eixo z ) com velocidade angular de \Omega \mathrm{rad} / \mathrm{s}. (a) Determine a densidade de corrente
\mathbf{J} como uma função da posição dentro do cilindro girante. (b) Determine
\mathbf{H} no eixo aplicando os resultados do Problema 7.6.
(c) Determine a intensidade de campo magnético
\mathbf{H} dentro e fora.
(d) Verifique seu resultado da parte (c) tomando o rotacional de
\mathbf{H}.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro sólido de raio a e comprimento L\gg a, com densidade de carga volumétrica uniforme \rho_{0}, girando em torno do eixo z com velocidade angular \Omega. Vamos usar:
  • A relação \mathbf{J}=\rho\,\mathbf{v} para achar a densidade de corrente.
  • Biot–Savart ou a superposição de anéis de corrente para H no eixo de um cilindro de comprimento finito.
  • O teorema de Ampère no regime estacionário \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} para achar H(r) aproximando-se de um cilindro “infinito” (pois L\gg a).
  • Finalmente, calcular o rotacional de \mathbf{H} para verificar \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.

Passo 2

Cada elemento de carga no cilindro tem velocidade
\mathbf{v} = \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}
com \boldsymbol{\Omega}=\Omega\,\hat z e \mathbf{r}=r\,\hat r. Então \mathbf{v}= \Omega\,r\,\hat\varphi.
Logo a densidade de corrente volumétrica é
\mathbf{J}=\rho_{0}\,\mathbf{v} =\rho_{0}\,\Omega\,r\,\hat\varphi\quad(\text{para }r\le a).

Passo 3

Para achar \mathbf{H} no eixo r=0 de um cilindro de comprimento L, dividimos o corpo em anéis de raio r e espessura dr.
Em cada anel a corrente total é
dI = J_{\varphi}(r)\,(\text{área do corte}) = \bigl(\rho_{0}\,\Omega\,r\bigr)\,(L\,dr) =\rho_{0}\,\Omega\,L\,r\,dr.á
O campo magnético axial no centro de um anel de raio r e corrente dI é
dH_{z} =\frac{dI}{2\,r} =\frac{\rho_{0}\,\Omega\,L\,r\,dr}{2\,r} =\frac{\rho_{0}\,\Omega\,L}{2}\,dr.
Integrando de r=0 até r=a,
H_{z}(0)=\int_{0}^{a}dH_{z} =\int_{0}^{a}\frac{\rho_{0}\,\Omega\,L}{2}\,dr =\frac{\rho_{0}\,\Omega\,L\,a}{2},
e \mathbf{H}(0)=H_{z}(0)\,\hat z.

Passo 4

Como L\gg a\), no interior e fora do cilindro podemos usar aproximação de cilindro “infinito” e simetria cilíndrica: \(\mathbf{H}=H_{z}(r)\,\hat z\). Do teorema de Ampère (sem termo de deslocamento), \[\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} \quad\Longrightarrow\quad (\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi} =\frac{\partial H_{r}}{\partial z} -\frac{\partial H_{z}}{\partial r} =J_{\varphi}(r).
Como não há variação em z e H_{r}=0, fica
-\frac{dH_{z}}{dr} =\rho_{0}\,\Omega\,r\quad(r\le a), \qquad -\frac{dH_{z}}{dr}=0\quad(r>a).
Integrando em r, impondo H_{z}(r\to\infty)=0 e continuidade em r=a, obtém‐se
H_{z}(r) =\begin{cases} \dfrac{\rho_{0}\,\Omega}{2}\,\bigl(a^{2}-r^{2}\bigr),&r\le a,\\[1em] 0,&r>a. \end{cases}
Portanto (\mathbf{H}®=H_{z}®,\hat z].]

Passo 5

Para verificar, calculemos \nabla\times\mathbf{H}\). A única componente não nula é \[(\nabla\times\mathbf{H})_{\varphi} =-\frac{dH_{z}}{dr} =\begin{cases} \rho_{0}\,\Omega\,r,&r\le a,\\\\ 0,&r>a, \end{cases}
que é exatamente J_{\varphi}(r)\]. Assim \(\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{J}(r)=\rho_{0}\,\Omega\,r\,\hat\varphi\) para \(r\le a\). (b) \(\displaystyle \mathbf{H}(0)=\frac{\rho_{0}\,\Omega\,L\,a}{2}\,\hat z\). \text{(c)} \(\displaystyle \mathbf{H}(r)=\begin{cases}\dfrac{\rho_{0}\,\Omega}{2}\,(a^{2}-r^{2})\,\hat z,&r\le a,\\[6pt]0,&r>a.\end{cases}
(d) De fato \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.]

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