1. A 25^{\circ} \mathrm{C} temos os seguintes dados:
Composto \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{G}^{\circ} /\left(\mathrm{kJ} \cdot \mathrm{mol}^{-1}\right) \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{H}^{\circ} /\left(\mathrm{kJ} \cdot \mathrm{mol}^{-1}\right)
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}(\mathrm{~g}) 68,1 52,3
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) 209,2 226,7
a) Calcule \mathrm{K}_{\mathrm{p}}, a 25^{\circ} \mathrm{C}, para a reação: \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}(\mathrm{~g})=\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}).
b) Qual deverá ser o valor de \mathrm{K}_{\mathrm{p}}, no caso de 25 \% de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} estarem dissociados em \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2} e \mathrm{H}_{2}, a uma pressão total de 1,00 \mathrm{~atm} ?
c) A que temperatura \mathrm{K}_{\mathrm{p}} terá o valor determinado em (b)?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece os dados abaixo (os números foram retirados da tabela do enunciado):
  • Dados a 25^\circ\mathrm{C} ( =298{,}15\\ \mathrm{K}):
    • \Delta_{\mathrm{f}}G^\circ\bigl(\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4\,(g)\bigr)=68{,}1\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
    • \Delta_{\mathrm{f}}G^\circ\bigl(\mathrm{C}_2\mathrm{H}_2\,(g)\bigr)=209{,}2\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
    • \Delta_{\mathrm{f}}G^\circ\bigl(\mathrm{H}_2\,(g)\bigr)=0\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} (padrão).
    • \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ\bigl(\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4\,(g)\bigr)=52{,}3\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
    • \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ\bigl(\mathrm{C}_2\mathrm{H}_2\,(g)\bigr)=226{,}7\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
    • \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ\bigl(\mathrm{H}_2\,(g)\bigr)=0\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
  • Reação considerada: \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4\,(g)\longrightarrow \mathrm{C}_2\mathrm{H}_2\,(g) + \mathrm{H}_2\,(g).
  • Perguntas:
    (a) Calcular K_p a 25^\circ\mathrm{C}.
    (b) Se 25\% do \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 está dissociado a P_{\text{tot}}=1{,}00\\ \mathrm{atm}, qual o K_p correspondente?
    (c) A que temperatura K_p terá o valor encontrado em (b)?

Passo 2

Primeiro vou achar a variação padrão de energia livre da reação a 25^\circ\mathrm{C}, usando a definição de variação de formação padrão:
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ=\sum\Delta_{\mathrm{f}}G^\circ(\text{produtos})-\sum\Delta_{\mathrm{f}}G^\circ(\text{reagentes}).
Aplicando os números:
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ = \bigl(209{,}2 + 0\bigr) - 68{,}1 = 141{,}1\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Isso significa que, em condições padrão a 298{,}15\\ \mathrm{K}, a reação tem \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ=141{,}1\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} (processo desfavorável em padrão).

Passo 3

Relação entre energia livre padrão e constante de equilíbrio (no caso gasoso usando K_p):
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ = -RT\ln K_p,
onde R é a constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T em kelvin. Vou usar \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ em joules por mol:
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ = 141{,}1\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} = 141100\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Substituindo:
\ln K_p = -\dfrac{\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ}{RT} = -\dfrac{141100}{8{,}314\cdot 298{,}15}.
Calculemos o denominador e o quociente:
8{,}314\cdot 298{,}15 \approx 2478{,}96, \qquad \dfrac{141100}{2478{,}96}\approx 56{,}93.
Logo
\ln K_p \approx -56{,}93, \qquad K_p=\exp(-56{,}93)\approx 1{,}87\times 10^{-25}.
Interpretação rápida: K_p extremamente pequeno a 25^\circ\mathrm{C}, coerente com \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ positivo grande.

Passo 4

Agora a parte (b): suposição de que 25\% do \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 inicial se dissociou. Vou montar uma tabela estequiométrica simples tomando 1 mol inicial de \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4:
  • Inicial: \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 = 1 mol, \mathrm{C}_2\mathrm{H}_2 = 0, \mathrm{H}_2 = 0.
  • Reagiu (dissociou) uma fração \alpha=0{,}25 mol:
    • \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 final: 1-\alpha = 0{,}75 mol.
    • \mathrm{C}_2\mathrm{H}_2 final: \alpha = 0{,}25 mol.
    • \mathrm{H}_2 final: \alpha = 0{,}25 mol.
  • Número total de mols no equilíbrio: n_{\text{tot}} = 0{,}75 + 0{,}25 + 0{,}25 = 1{,}25\\ \text{mol}.
Mole frações:
y_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4}=\dfrac{0{,}75}{1{,}25}=0{,}60,\quad y_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_2}=\dfrac{0{,}25}{1{,}25}=0{,}20,\quad y_{\mathrm{H}_2}=0{,}20.
Com P_{\text{tot}}=1{,}00\\ \mathrm{atm}, as pressões parciais são p_i=y_iP_{\text{tot}}=y_i atm. A constante K_p para a reação é:
K_p=\dfrac{p_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_2}\,p_{\mathrm{H}_2}}{p_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4}} =\dfrac{(0{,}20)(0{,}20)}{0{,}60}=\dfrac{0{,}04}{0{,}60}=0{,}066666\ldots
Portanto o K_p correspondente a 25\% de dissociação a 1{,}00\\ \mathrm{atm} é 0{,}0667 (aprox.), ou exatamente 1/15.

Passo 5

Parte (c): encontrar a temperatura em que K_p=0{,}066666\ldots para a reação. Vou usar a relação temperatura-dependente aproximada baseada em entalpia e entropia padrão, assumindo que \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ e \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ são aproximadamente constantes na faixa considerada:
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ(T)=\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ - T\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ \quad\text{e}\quad \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ(T)=-RT\ln K_p(T).
Primeiro calcule \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ a 25^\circ\mathrm{C} a partir das entalpias de formação dadas:
\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ=\sum\Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\text{produtos})-\sum\Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\text{reagentes}) =226{,}7 - 52{,}3 = 174{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Converto para joules: 174{,}4\\ \mathrm{kJ}=174400\\ \mathrm{J}.
Agora determino \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ usando os valores a 298{,}15\\ \mathrm{K} já calculados:
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ(298{,}15)=\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ - T\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ.
Logo
\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ = \dfrac{\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ - \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ}{T} = \dfrac{174{,}4 - 141{,}1}{298{,}15}\\ \mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
Calculando:
174{,}4-141{,}1=33{,}3\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}, \qquad \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ = \dfrac{33{,}3}{298{,}15}\\ \mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}\approx 0{,}1118\\ \mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
Em unidades mais usuais:
\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ\approx 111{,}8\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Agora encontro T tal que K_p(T)=0{,}066666\ldots. A partir de
-RT\ln K_p = \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ - T\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ,
rearranjando para T:
\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ = T\bigl(\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ - R\ln K_p\bigr) \quad\Rightarrow\quad T = \dfrac{\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ}{\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ - R\ln K_p}.
Substituo os valores em unidades SI:
\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ = 174400\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}},\quad \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ = 111{,}8\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}},
\ln K_p = \ln(0{,}066666\ldots)=\ln\!\left(\tfrac{1}{15}\right)=-\ln 15\approx -2{,}70805,
R\ln K_p = 8{,}314\cdot(-2{,}70805)\approx -22{,}52\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
Portanto
\Delta_{\mathrm{r}}S^\circ - R\ln K_p \approx 111{,}8 - (-22{,}52)=134{,}32\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
Finalmente
T \approx \dfrac{174400}{134{,}32}\\ \mathrm{K}\approx 1298{,}7\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T\approx 1298{,}7 - 273{,}15 \approx 1025{,}6^\circ\mathrm{C}.
Arredondando a um número conveniente: T\approx 1299\\ \mathrm{K} ( \approx 1026^\circ\mathrm{C}).

Resposta

K_p(25^\circ\mathrm{C})\approx 1{,}87\times 10^{-25}
K_p para 25\% de dissociação a 1{,}00\\ \mathrm{atm}: K_p\approx 0{,}06667 (= 1/15)
Temperatura em que K_p=0{,}06667: T\approx 1299\\ \mathrm{K} ( \approx 1026^\circ\mathrm{C})

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