1. Qual a mudança na energia de Gibbs quando 4,50 \mathrm{~g} de água é convertida de água líquida a 25,0^{\circ} \mathrm{C} para vapor a 25,0^{\circ} \mathrm{C} e a pressão de 0,100 \mathrm{mmHg} ? (O equilíbrio líquido-vapor a 25,0^{\circ} \mathrm{C} tem pressão de vapor de 23,8 \mathrm{mmHg}, e o vapor pode ser assumido como ideal). O processo líquido-vapor tende a ser um processo espontâneo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa de água: 4,50\\ \mathrm{g}.
    • temperatura: 25{,}0^\circ\mathrm{C}, isto é T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
    • pressão do vapor final: p=0{,}100\\ \mathrm{mmHg}.
    • pressão de vapor (saturada) da água a 25{,}0^\circ\mathrm{C}: p_{\text{sat}}=23{,}8\\ \mathrm{mmHg}.
    • o vapor pode ser assumido como gás ideal.
  • O que o enunciado pede:
    1. calcular a mudança na energia de Gibbs quando a água líquida é convertida em vapor nessas condições (ou seja, \Delta G para a transformação líquida \to vapor à T fixa e à pressão do vapor dada);
    2. dizer se o processo tende a ser espontâneo nessas condições.

Passo 2

Entendendo a teoria necessária (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Conceito: a variação de energia de Gibbs para converter n mols de líquido em vapor à mesma temperatura é \Delta G = n\bigl(\mu_{\text{g}} - \mu_{\ell}\bigr),onde \mu_{\text{g}} é o potencial químico (energia molar de Gibbs) do vapor nas condições finais e \mu_{\ell} é o potencial químico do líquido na mesma temperatura.
  • Propriedade importante no equilíbrio líquido–vapor: à temperatura T a que o líquido e vapor estão em equilíbrio na pressão de vapor saturada p_{\text{sat}}, tem-se \mu_{\ell} = \mu_{\text{g}}(p_{\text{sat}}).Ou seja, o potencial químico do líquido iguala o do vapor quando o vapor está à pressão de saturação.
  • Para um gás ideal, o potencial químico do gás varia com a pressão segundo \mu_{\text{g}}(p)=\mu_{\text{g}}(p_{\text{ref}})+RT\ln\!\left(\dfrac{p}{p_{\text{ref}}}\right),onde R é a constante dos gases e p_{\text{ref}} é uma pressão de referência qualquer (ela cancela nas diferenças).
  • Substituindo e usando que \mu_{\ell}=\mu_{\text{g}}(p_{\text{sat}}), obtemos \mu_{\text{g}}(p)-\mu_{\ell}=\mu_{\text{g}}(p)-\mu_{\text{g}}(p_{\text{sat}})=RT\ln\!\left(\dfrac{p}{p_{\text{sat}}}\right).
  • Assim a expressão prática e direta para \Delta G é \boxed{\Delta G = n\,RT\ln\!\left(\dfrac{p}{p_{\text{sat}}}\right).}Observação didática: essa relação mostra que, se p<p_{\text{sat}}, o argumento do ln é menor que 1, o ln é negativo e \Delta G<0 — isto indica que a vaporização (líquido \to vapor) é espontânea àquela pressão. Se p>p_{\text{sat}}, a vaporização não é espontânea ( \Delta G>0 ).

Passo 3

Calcular a quantidade de matéria n (mols) a partir da massa da água.
  • massa molar aproximada da água: M=18{,}015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Portanto n=\dfrac{\text{massa}}{M}=\dfrac{4{,}50}{18{,}015}=0{,}2499\\ \text{mol}\qquad(\text{aprox.})

Passo 4

Calcular o logaritmo natural da razão de pressões \dfrac{p}{p_{\text{sat}}}.
  • Primeiro a razão: \dfrac{p}{p_{\text{sat}}}=\dfrac{0{,}100}{23{,}8}=0{,}00420168\ldots
  • Agora o logaritmo natural: \ln\!\left(\dfrac{p}{p_{\text{sat}}}\right)=\ln(0{,}00420168\ldots)=-5{,}4727\\ \text{(aprox.)}

Passo 5

Calcular numericamente \Delta G usando a fórmula \Delta G=nRT\ln(p/p_{\text{sat}}).
  • Constantes e temperatura: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},\qquad T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Produto RT: RT=8{,}314\cdot 298{,}15=2\,478{,}96\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Produto nRT: nRT=0{,}2499\cdot 2\,478{,}96=619{,}49\\ \mathrm{J}.
  • Finalmente \Delta G = nRT\ln\!\left(\dfrac{p}{p_{\text{sat}}}\right)=619{,}49\cdot(-5{,}4727)=-3\,390\\ \mathrm{J}.
  • Convertendo para quilojoules e arredondando a três algarismos significativos (consistentes com os dados): \Delta G \approx -3{,}39\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Interpretação do resultado e resposta à pergunta sobre espontaneidade.
  • O valor calculado é \Delta G\approx -3{,}39\\ \mathrm{kJ}, ou seja negativo.
  • Significado físico: \Delta G<0 indica que a transformação líquida \to vapor, nas condições dadas (mesma T, pressão do vapor 0{,}100\\ \mathrm{mmHg}), é termodinamicamente favorecida — portanto o processo tende a ocorrer espontaneamente nessas condições.
  • Intuição: a pressão externa do vapor é muito menor que a pressão de vapor de equilíbrio à 25{,}0^\circ\mathrm{C}; portanto a tendência natural é que parte do líquido evapore até que a pressão do vapor se aproxime de p_{\text{sat}}.

Resposta

\Delta G = -3{,}39\\ \mathrm{kJ}
Sim, o processo tende a ser espontâneo.

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