(1,25) Um partícula de massa 40 g move-se com uma frequência de (p i3 t^1 / 2+t) H z em uma trajetória de 15 cm . Considerando o centro da trajetória na posição (0,0) de um sistema cartesiano de referência. Determine o vetor aceleração resultante sobre esta partícula. RESPOSTAS FINAIS:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa de 40 g que está se movendo em uma trajetória circular de 15 cm com uma frequência que muda com o tempo, dada por Hz. Nosso objetivo é encontrar o vetor aceleração resultante que atua nessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular, especificamente aceleração centrípeta e aceleração tangencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade angular ( omega(t) = 2pi f(t) ) da partícula. A velocidade angular está relacionada com a frequência pela fórmula:
omega(t) = 2pi ( pi3 raizt + t ) = 2pi^23 raizt + 2pi t
Substituindo a expressão de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração centrípeta ( ac = omega(t)^2 r ). A aceleração centrípeta é dada por:
ac = ( 2pi^23 raizt + 2pi t )^2 times 0,15
Onde cm = 0,15 m. Então:

Passo 4

Além da centrípeta, como a frequência está mudando com o tempo, também temos uma aceleração tangencial ( at = domega(t)dt times r ). Ela é calculada pela derivada da velocidade angular em relação ao tempo multiplicada pelo raio:
domega(t)dt = 2pi^23 times 12 t^-1/2 + 2pi = pi^23 t^-1/2 + 2pi
Primeiro, encontramos a derivada de at = ( pi^23 t^-1/2 + 2pi ) times 0,15 :
Então:

Passo 5

Para encontrar o vetor aceleração resultante ( a = -ac r + at theta ), combinamos as componentes centrípeta e tangencial. Em coordenadas cartesianas, se considerarmos que a partícula está se movendo no sentido positivo do eixo , a aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória (negativo de ) e a aceleração tangencial é perpendicular a ela.
Então:
Onde e são os vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente.

Resposta

O vetor aceleração resultante sobre a partícula é dado por:
a = -( 2pi^23 raizt + 2pi t )^2 times 0,15 , r + ( pi^23 t^-1/2 + 2pi ) times 0,15 , theta

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