3.25 Um tanque rigido contém 5 \mathrm{lb}(2,3 \mathrm{~kg}) de uma mistura bifásica li-quido-vapor de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, inicialmente a 260^{\circ} \mathrm{F}\left(126,7^{\circ} \mathrm{C}\right) e título de 0,6 . Calor é transferido para o conteúdo do tanque ate que a temperatura seja de 320^{\circ} \mathrm{F}\left(160^{\circ} \mathrm{C}\right). Mostre o processo em um diagrama p-u. Determine a massa de vapor, em lb, inicialmente presente no tanque e a pressio final, em lbt/in²

Passo 1

O enunciado dá um tanque rígido contendo uma mistura bifásica (líquido + vapor) de água com as seguintes informações:
\text{Massa total: } m = 5\\ \text{lb}
\text{Temperatura inicial: } T_1 = 260^\circ\text{F} \left(126{,}7^\circ\text{C}\right)
\text{Título (qualidade) inicial: } x_1 = 0{,}6í
\text{Temperatura final (após aquecimento): } T_2 = 320^\circ\text{F} \left(160^\circ\text{C}\right)ó
Perguntas pedidas:
  1. Determinar a massa de vapor inicialmente presente no tanque (em lb).
  2. Determinar a pressão final no tanque (em \text{lbf/in}^2, isto é, psi).
    Adicional: mostrar o processo em um diagrama p versus u (pressão versus energia interna específica). Todas as demais propriedades de vapor/água necessárias devem ser obtidas a partir de tabelas de vapor; quando eu usar aproximações, vou explicitar.

Passo 2

Entender o que é “título” (qualidade) e como obter a massa de vapor.
  • O título (qualidade) x é a fração em massa que está em fase vapor. Assim, se x=0{,}6, 60\% da massa está em vapor e 40\% em líquido.
  • A fórmula direta é
m_v = x\,m,
onde m_v é a massa de vapor e m a massa total.
Aplicando:
m_v = x_1 m = 0{,}6 \times 5\\ \text{lb} = 3\\ \text{lb}.
Explicação didática curta: pense no tanque com 5 “blocos” de massa; 60% desses blocos são vapor, logo 3 blocos são vapor. Isso responde a primeira pergunta.

Passo 3

Vamos agora preparar os passos para achar a pressão final. Ideia geral física:
  • O tanque é rígido → volume total V é constante.
  • Portanto a volume específico médio v = V/m também é constante durante o processo.
  • Conhecendo v (obtido a partir do estado inicial), e sabendo a temperatura final T_2, podemos descobrir se o estado final é saturado (duas fases) ou vapor superaquecido. Se for vapor superaquecido, usamos a equação de estado aproximada (ou tabelas de vapor superaquecido) para achar a pressão final.
Para isso precisamos do volume específico inicial v. Como o estado inicial é uma mistura saturada a T_1, usamos a relação:
v = (1-x_1)\,v_f(T_1) + x_1\,v_g(T_1),
onde v_f é o volume específico do líquido saturado e v_g o volume específico do vapor saturado, ambos na temperatura T_1. Explico: o volume específico médio é a média em massa entre o líquido (fração 1-x) e o vapor (fração x).

Passo 4

Obter (aproximadamente) as propriedades saturadas em T_1=260^\circ\text{F}.
  • Idealmente usaríamos uma tabela de vapor saturado. Aqui eu vou obter a pressão de saturação e o volume específico do vapor usando a aproximação de Clausius–Clapeyron combinada com a equação dos gases ideais para estimar v_g. Isso é aceitável nesta faixa de temperatura para estimativas e é totalmente explicado:
    • Fórmula de Clausius–Clapeyron (aproximada, assumindo L praticamente constante):
    \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \approx -\frac{L}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right),onde p em kPa, T em K, L é o calor latente de vaporização por unidade de massa (aprox. L\approx 2257\\ \text{kJ/kg} próximo de 100°C), e R é a constante específica do vapor d’água ( R\approx 0{,}4615\\ \text{kJ/kg·K}). Vou usar referência p_1=101{,}325\\ \text{kPa} em T_1^{\text{ref}}=373{,}15\\ \text{K} (ponto de ebulição a 100^\circ\text{C}) para estimar pressões em outras temperaturas.
    • Usando essa aproximação para T_1=260^\circ\text{F}=126{,}7^\circ\text{C}=399{,}85\\ \text{K}, encontramos (cálculos mostrados):
\ln\!\left(\frac{p_{260}}{101{,}325}\right)\approx -\frac{2257}{0{,}4615}\Big(\frac{1}{399{,}85}-\frac{1}{373{,}15}\Big) \approx 0{,}8698,
p_{260}\approx 101{,}325\\ \exp(0{,}8698)\approx 241{,}7\\ \text{kPa}\approx 35{,}07\\ \text{psi}.
  • Agora estimamos v_g (volume específico do vapor saturado) pela equação dos gases ideais como aproximação razoável para vapor saturado leve:
v_g \approx \frac{R\,T}{p},
com R=0{,}4615\\ \text{kJ/kg·K}, T=399{,}85\\ \text{K} e p=241{,}7\\ \text{kPa}. Assim
v_g(260^\circ\text{F}) \approx \frac{0{,}4615\times 399{,}85}{241{,}7}\\ \text{m}^3/\text{kg}\approx 0{,}763\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Converter para \text{ft}^3/\text{lb}: fator de conversão é \displaystyle 1\\ \text{m}^3/\text{kg}\approx 35{,}3147\\ \frac{\text{ft}^3}{\text{kg}} e 1\\ \text{kg}=2{,}20462\\ \text{lb}, logo fator combinado \approx 35{,}3147/2{,}20462\approx 16{,}018. Portanto
v_g(260^\circ\text{F})\approx 0{,}763\times 16{,}018\\ \approx 12{,}23\\ \text{ft}^3/\text{lb}.
  • O volume específico do líquido saturado v_f em torno dessa temperatura é muito pequeno, ≈ 0{,}0165\\ \text{ft}^3/\text{lb} (valor típico de tabela). Esse valor é muito menor que v_g e pouco influencia a média.
Observação didática: eu usei aproximações (Clausius–Clapeyron + gás ideal) para obter uma estimativa de p e v_g; com uso de tabelas exatas os valores seriam muito próximos e o método é exatamente o mesmo, só mudam números com precisão.

Passo 5

Calcular o volume específico médio inicial v e o volume total V.
v = (1-x_1)\,v_f(T_1) + x_1\,v_g(T_1).
Substituindo x_1=0{,}6, v_f\approx 0{,}0165\\ \text{ft}^3/\text{lb} e v_g\approx 12{,}23\\ \text{ft}^3/\text{lb}:
v \approx 0{,}4\times 0{,}0165 + 0{,}6\times 12{,}23 \approx 0{,}0066 + 7{,}3378 \approx 7{,}344\\ \text{ft}^3/\text{lb}.
Volume total do tanque:
V = m\,v = 5\\ \text{lb}\times 7{,}344\\ \text{ft}^3/\text{lb} \approx 36{,}72\\ \text{ft}^3.
Interpretação: o tanque tem volume fixo correspondente a esse V.

Passo 6

Determinar o estado final a T_2=320^\circ\text{F}.
  • Primeiro, calcule (aprox.) a pressão de saturação e v_g em T_2 usando o mesmo procedimento.
    • Converter T_2=320^\circ\text{F}=160^\circ\text{C}=433{,}15\\ \text{K}.
    • Usando Clausius–Clapeyron com as mesmas hipóteses:
\ln\!\left(\frac{p_{320}}{101{,}325}\right)\approx -\frac{2257}{0{,}4615}\Big(\frac{1}{433{,}15}-\frac{1}{373{,}15}\Big)\approx 1{,}809,
p_{320}\approx 101{,}325\\ \exp(1{,}809)\approx 618{,}1\\ \text{kPa}\approx 89{,}7\\ \text{psi}.
  • Estimativa de v_g (saturado) em 320^\circ\text{F}:
v_g(320^\circ\text{F})\approx \frac{0{,}4615\times 433{,}15}{618{,}1}\\ \text{m}^3/\text{kg}\approx 0{,}3235\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Converter para \text{ft}^3/\text{lb} (mesmo fator 16,018):
v_g(320^\circ\text{F})\approx 0{,}3235\times 16{,}018\approx 5{,}18\\ \text{ft}^3/\text{lb}.
  • Comparação entre v (constante) e v_g(320^\circ\text{F}):
v = 7{,}344\\ \text{ft}^3/\text{lb} \quad\text{e}\quad v_g(320^\circ\text{F})\approx 5{,}18\\ \text{ft}^3/\text{lb}.
Como v>v_g(320^\circ\text{F}), o estado final a T_2 não pode estar na região saturada (se estivesse saturado o volume específico teria que ser ≤ v_g nessa temperatura). Logo o estado final é vapor superaquecido: toda a massa virou vapor antes ou durante o aquecimento e, ao atingir 320^\circ\text{F}, encontra-se em vapor superaquecido à pressão que satisfaz v e T_2.

Passo 7

Calcular a pressão final assumindo vapor superaquecido e usando a equação dos gases (aproximação adequada para vapor superaquecido leve):
  • Passe os valores para unidades SI para aplicar p = R T / v com v em \text{m}^3/\text{kg}.
  • Conversão de v para \text{m}^3/\text{kg}:
v\\ (\text{m}^3/\text{kg}) = v\\ (\text{ft}^3/\text{lb})\times \frac{0{,}02831685\\ \text{m}^3/\text{ft}^3}{0{,}45359237\\ \text{kg}/\text{lb}} \approx v\\ (\text{ft}^3/\text{lb})\times 0{,}062427.
Portanto
v \approx 7{,}344\times 0{,}062427 \approx 0{,}4589\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Agora use p = \dfrac{R\,T_2}{v} com R=0{,}4615\\ \text{kJ/kg·K} (kPa·m^3/kg·K) e T_2=433{,}15\\ \text{K}:
p \approx \frac{0{,}4615\times 433{,}15}{0{,}4589}\\ \text{kPa} \approx 435{,}8\\ \text{kPa}.
Converter para \text{lbf/in}^2 (psi): 1\\ \text{psi}=6{,}895\\ \text{kPa}:
p \approx \frac{435{,}8}{6{,}895}\\ \text{psi} \approx 63{,}2\\ \text{lbf/in}^2.
Interpretação didática final: ao aquecer numa câmara rígida, o volume específico permanece 7{,}344\\ \text{ft}^3/\text{lb}; a uma temperatura mais alta ( 320^\circ\text{F}) esse volume específico é maior que o volume específico do vapor saturado naquela temperatura, logo todo o fluido está na fase vapor, em condição superaquecida. A pressão é determinada pela equação de estado (aqui aproximada pelo gás ideal), resultando em cerca de 63{,}2\\ \text{psi}.

Passo 8

Como mostrar isso no diagrama p versus u:
  • Eixos: eixo vertical p (pression) e eixo horizontal u (energia interna específica).
  • Estado inicial: um ponto sobre a curva de saturação correspondente a T_1=260^\circ\text{F} (ou seja, em coordenadas (p_{sat,260},u_1); u_1 é a média (1-x)u_f+x u_g — não calculei numericamente u aqui, mas o ponto está sobre a curva saturada).
  • Aquecimento a volume constante: o processo move o estado para a direita (energia interna aumenta) e para cima (pressão aumenta). Enquanto existir líquido, o processo segue a linha de saturação (porque a pressão = pressão de saturação correspondente à temperatura crescente). Quando todo líquido evapora, o processo deixa a curva de saturação e entra na região de vapor superaquecido; daí a pressão continua a variar com u até o ponto final (p_2,u_2) correspondente a T_2 e ao u final.
  • No nosso caso, o trajeto começa em (p_{260}\approx 35{,}1\\ \text{psi},u_1), sobe seguindo a curva saturada até o ponto de vapor saturado a alguma temperatura intermédia onde toda água se vaporiza, e então continua para o ponto final (p_2\approx 63{,}2\\ \text{psi},u_2) na região de vapor superaquecido. Assim, no p–u o trecho inicial é sobre a curva saturada verticalmente ascendente (a pressão da saturação aumenta com u até ponto de secagem) e depois segue uma curva na região superaquecida até o ponto final.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a ideia-chave é sempre manter V constante, calcular v inicial e comparar com v_g à temperatura final — isso determina se o estado final é saturado ou superaquecido. Você já fez a parte mais difícil!

Resposta

m_v = 3\\ \text{lb}
p_{\text{final}} \approx 63{,}2\\ \text{lbf/in}^2

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