3.93 Oxigénio \left(\mathrm{O}_{2}\right) ocupa um volume de 5 \mathrm{ft}^{3}\left(0,14 \mathrm{~m}^{3}\right) a 400^{\circ} \mathrm{R}\left(-50.9^{\circ} \mathrm{C}\right) Determine a massa de oxigénio, em lb

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Volume: V=5\\ \text{ft}^3 (o enunciado também trouxe a aproximação 0,14\\ \text{m}^3).
  • Temperatura: T=400^\circ\text{R} (Rankine), o enunciado informa que isso corresponde a -50{,}9^\circ\text{C}.
  • O que se pede: determinar a massa de oxigénio em \text{lb} (pounds, isto é, libra de massa).
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não menciona a pressão. Quando a pressão não é dada em problemas deste tipo é habitual assumir a pressão atmosférica padrão. Portanto vou assumir P=14{,}7\\ \text{psi} (pressão atmosférica padrão). Se a prova usar outra pressão, é só substituir esse valor na mesma fórmula.

Passo 2

Qual é a fórmula que vamos usar? A lei dos gases ideais na forma conveniente para massa é
PV = m R T,
onde:
  • P é a pressão absoluta (unidades de força por área, ex.: \text{lbf/ft}^2 ou \text{Pa}),
  • V é o volume (ex.: \text{ft}^3 ou \text{m}^3),
  • m é a massa (ex.: \text{lb} ou \text{kg}), que queremos encontrar,
  • R é a constante gasosa específica do gás (unidades dependem do sistema),
  • T é a temperatura absoluta (em ^\circ\text{R} no sistema imperial, ou \text{K} no SI).
Isolando m:
m=\frac{PV}{R\,T}.
Agora precisamos do valor de R para o oxigénio. Usando o valor universal no sistema imperial:
R_u = 1545\\ \frac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{lbmol}\cdot\text{R}},
a massa molar do \mathrm{O}_2 é M=32{,}00\\ \text{lbm}/\text{lbmol}. Logo a constante específica do O _2 é
R = \frac{R_u}{M} = \frac{1545}{32} = 48{,}28125\\ \frac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{lbm}\cdot\text{R}}.
Expliquei isso passo a passo: R_u é a mesma para todos os gases por mol, dividimos pela massa molar para obter a constante por unidade de massa.

Passo 3

Converter a pressão assumida P=14{,}7\\ \text{psi} para unidades compatíveis com R.
Lembre que 1\\ \text{psi}=1\\ \text{lbf/in}^2 e 1\\ \text{ft}^2=144\\ \text{in}^2. Então
P = 14{,}7\\ \text{psi} = 14{,}7\times144 = 2116{,}8\\ \frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}.

Passo 4

Substituir P, V, R e T na fórmula m=\dfrac{PV}{RT}. Usamos V=5\\ \text{ft}^3 e T=400^\circ\text{R}:
PV = 2116{,}8\times 5 = 10584\quad(\text{unidade: }\text{lbf}\cdot\text{ft})
R\,T = 48{,}28125\times 400 = 19312{,}5\quad(\text{unidade: }\text{ft}\cdot\text{lbf}/\text{lbm})
Portanto
m = \frac{10584}{19312{,}5} \approx 0{,}548\\ \text{lb} .
Interpretação: o resultado está em libras de massa ( \text{lb}), que é a unidade pedida.

Passo 5

Cheque rápido de consistência (opcional, mas útil para a prova). Se usarmos SI com a aproximação fornecida no enunciado V=0{,}14\\ \text{m}^3, P=101{,}325\\ \text{kPa} e T=222{,}25\\ \text{K} (pois 400^\circ\text{R}=400\times 5/9\approx222{,}22\\ \text{K}), e R = \dfrac{8{,}314462618}{0{,}032}\approx259{,}83\\ \text{J/(kg·K)}, obtemos (fazendo m=\dfrac{PV}{RT}) cerca de 0{,}246\\ \text{kg}, que convertido para libras ( 1\\ \text{kg}=2{,}20462\\ \text{lb}) dá aproximadamente 0{,}54\\ \text{lb}. A pequena diferença com o cálculo em ft-lb vem do arredondamento de V que o enunciado apresentou como 0{,}14\\ \text{m}^3 em vez do valor exato 5\\ \text{ft}^3 convertido para metros cúbicos ( 5\\ \text{ft}^3\approx0{,}141584\\ \text{m}^3). Usando a conversão exata os dois caminhos coincidem muito bem com o 0{,}548\\ \text{lb} acima.

Resposta

0,548\\ \text{lb}

Exercícios relacionados