25 { }^{\text {a }} Questão

Sabendo que \int_{0}^{\pi}(f(x)+\operatorname{sen} 2 x) d x=2. Assinale a alternativa que indica o valor de:
\int_{0}^{\pi}\left(f(x)+9\left(\frac{x}{\pi}\right)^{2}\right) d x
(A) 2+3 \pi
(B) 1+3 \pi
(C) 2+\pi
(D) 5
(E) 4

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\int_{0}^{\pi}\bigl(f(x)+\operatorname{sen}(2x)\bigr)\,dx=2.
A pergunta pede o valor de
\int_{0}^{\pi}\left(f(x)+9\left(\frac{x}{\pi}\right)^{2}\right)\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Está dada a integral na forma de soma de duas funções integráveis no intervalo [0,\pi].
  • Queremos outra integral que também é soma de f(x) com uma função explícita \;9\bigl(\tfrac{x}{\pi}\bigr)^2.

Passo 2

Uso a propriedade de linearidade da integral (isso é: \int(a(x)+b(x))=\int a(x)+\int b(x) e constantes podem sair da integral). Aplicando isso à igualdade dada obtemos:
\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx+\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx=2.
Isso nos permite isolar \int_{0}^{\pi}f(x)\,dx se conseguirmos calcular \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx.

Passo 3

Calculemos \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx. Primeiro, uma primitiva de \operatorname{sen}(2x) é obtida usando a regra da cadeia: uma primitiva é -\tfrac{1}{2}\cos(2x), porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr) = -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)\operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}(2x).
Agora avaliando no intervalo:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx=\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\pi} =-\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2\pi)-\cos(0)\bigr)=-\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
Portanto \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx=0.

Passo 4

Como a integral de \operatorname{sen}(2x) é zero, da igualdade do Passo 2 segue que
\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx=2.
Agora calculamos a integral pedida usando linearidade:
\int_{0}^{\pi}\left(f(x)+9\left(\frac{x}{\pi}\right)^{2}\right)\,dx =\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx+9\int_{0}^{\pi}\left(\frac{x}{\pi}\right)^{2}\,dx.
Substituindo \int_{0}^{\pi}f(x)\,dx=2 obtemos
2+9\int_{0}^{\pi}\frac{x^{2}}{\pi^{2}}\,dx =2+\frac{9}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx.
Calcule \int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx com a primitiva x^{3}/3:
\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{3}}{3}.
Logo
\frac{9}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=9\cdot\frac{\pi}{3}=3\pi.
Somando com o 2 temos o resultado final
2+3\pi.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem: o termo com \operatorname{sen}(2x) não contribuiu porque sua integral em [0,\pi] é zero; o termo polinomial deu exatamente 3\pi. Assim a alternativa correta é a que representa 2+3\pi.

Resposta

(A) 2+3\pi

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