1. (1,25) Verifique que a edo \left(2 x y+\cos x-7 y^{2}\right) d x+\left(2 y-14 x y+x^{2}\right) d y=0 é exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial exata (edo)
\left(2 x y+\cos x-7 y^{2}\right)\,dx+\left(2 y-14 x y+x^{2}\right)\,dy=0
e pede duas coisas: verificar que ela é exata e resolvê-la (obter a solução geral).
As informações relevantes que extraí do enunciado são as funções que multiplicam dx e dy. Vou chamá‑las de
M(x,y)=2xy+\cos x-7y^{2}
e
N(x,y)=2y-14xy+x^{2}.
A partir daqui faço a verificação de exatidão e, se for exata, procuro uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. A solução geral será \Phi(x,y)=C.

Passo 2

O que significa ser exata? Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em uma região se existe uma função \Phi(x,y) com derivadas parciais contínuas tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Um teste prático é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} na região considerada, a equação é exata.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais pedidas. Diferenciando M(x,y)=2xy+\cos x-7y^{2} em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial M}{\partial y}=2x-14y.
Agora diferencio N(x,y)=2y-14xy+x^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x}=-14y+2x.
Como essas duas expressões são idênticas (a ordem dos termos não importa),
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=2x-14y,
a equação é exata. Boa — podemos procurar \Phi(x,y).

Passo 4

Explico o método para construir \Phi(x,y). Sabemos que \Phi_x=M. Para achar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante; o resultado pode ter uma “constante” de integração que depende apenas de y. Ou seja,
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx + h(y).
Vou fazer essa integral passo a passo:
\int (2xy+\cos x-7y^{2})\,dx
  • \int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y, porque y é constante na integração em x.
  • \int \cos x\,dx=\sin x.
  • \int -7y^{2}\,dx = -7y^{2}\int 1\,dx = -7y^{2}x.
Somando,
\Phi(x,y)=x^{2}y+\sin x-7xy^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora usamos a condição \Phi_y=N. Calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y+\sin x-7xy^{2}+h(y)\big)=x^{2}-14xy+h'(y).
Essa expressão deve ser igual a N(x,y)=2y-14xy+x^{2}. Igualando:
x^{2}-14xy+h'(y)=x^{2}-14xy+2y.
Cancelam x^{2} e -14xy em ambos os lados, sobrando
h'(y)=2y.

Passo 6

Integro h'(y)=2y em relação a y para obter h(y):
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C_{0}.
Aqui C_{0} é uma constante arbitrária. Podemos absorvê‑la na constante final da solução implícita.

Passo 7

Substituo h(y)=y^{2} (absorvendo a constante) na expressão de \Phi:
\Phi(x,y)=x^{2}y+\sin x-7xy^{2}+y^{2}.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Ou seja,
x^{2}y+\sin x-7xy^{2}+y^{2}=C.

Resposta

x^{2}y+\sin x-7xy^{2}+y^{2}=C