-
Verifique que a edo
é exata e resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial exata (edo)
e pede duas coisas: verificar que ela é exata e resolvê-la (obter a solução geral).
As informações relevantes que extraí do enunciado são as funções que multiplicam e
. Vou chamá‑las de
As informações relevantes que extraí do enunciado são as funções que multiplicam
e
A partir daqui faço a verificação de exatidão e, se for exata, procuro uma função potencial
tal que
e
. A solução geral será
.
Passo 2
O que significa ser exata? Uma equação
é exata em uma região se existe uma função
com derivadas parciais contínuas tal que
e
. Um teste prático é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Se
na região considerada, a equação é exata.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais pedidas. Diferenciando
em relação a
(tratando
como constante):
Agora diferencio
em relação a
(tratando
como constante):
Como essas duas expressões são idênticas (a ordem dos termos não importa),
a equação é exata. Boa — podemos procurar
.
Passo 4
Explico o método para construir
. Sabemos que
. Para achar
integramos
em relação a
, tratando
como constante; o resultado pode ter uma “constante” de integração que depende apenas de
. Ou seja,
Vou fazer essa integral passo a passo:
-
, porque é constante na integração em . -
. -
.
Somando,
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora usamos a condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Essa expressão deve ser igual a
. Igualando:
Cancelam
e
em ambos os lados, sobrando
Passo 6
Integro
em relação a
para obter
:
Aqui
é uma constante arbitrária. Podemos absorvê‑la na constante final da solução implícita.
Passo 7
Substituo
(absorvendo a constante) na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária. Ou seja,