Under anaerobic conditions, glucose is broken down in muscle tissue to form lactic acid according to the reaction \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}(s) \rightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHOHCOOH}(s). Thermodynamic data at T=298 \mathrm{~K} for glucose and lactic acid are given in the following table:
\boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{H}_{\boldsymbol{f}}^{\circ}\left(\mathbf{k J} \mathbf{~ m o l}^{-\mathbf{1}}\right) \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{P}, \boldsymbol{m}}\left(\mathbf{J ~ K}^{-\mathbf{1}} \mathbf{m o l}^{-\mathbf{1}}\right) \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{m}}^{\circ}\left(\mathbf{J ~ K}^{-\mathbf{1}} \mathbf{m o l}^{-\mathbf{1}}\right)
Glucose -1273.1 219.2 209.2
Lactic -673.6 127.6 192.1
Acid
Calculate, \Delta S for the system, the surroundings, and the universe at T=325 \mathrm{~K}. Assume the heat capacities are constant between T=298 \mathrm{~K} and T=330 \mathrm{~K}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede.
  • Reação dada: \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}(s)\longrightarrow 2\,\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHOHCOOH}(s).
  • Temperatura para avaliar: T=325\\ \mathrm{K}.
  • Dados (todos a T=298\\ \mathrm{K}):
    • Glucose: \Delta H_{f}^{\circ}=-1273{,}1\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}, C_{P,m}=219{,}2\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}, S_{m}^{\circ}=209{,}2\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
    • Lactic acid: \Delta H_{f}^{\circ}=-673{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}, C_{P,m}=127{,}6\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}, S_{m}^{\circ}=192{,}1\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
  • Hipótese: capacidades térmicas C_{P,m} constantes entre 298\\ \mathrm{K} e 330\\ \mathrm{K}. (Vamos usar esse valor até 325\\ \mathrm{K}.)
  • O que pede o enunciado:
    1. \Delta S do sistema (para a reação) a T=325\\ \mathrm{K}.
    2. \Delta S dos arredores a T=325\\ \mathrm{K}.
    3. \Delta S do universo a T=325\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Como obter as entropias dos reagentes e produtos a 325\\ \mathrm{K}. Fórmula e explicação.
  • Para uma substância sólida com C_P aproximadamente constante, a entropia a T_2 é
S(T_2)=S(T_1)+C_P\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right),
onde:
  • S(T_1) é a entropia conhecida em T_1 (aqui 298\\ \mathrm{K}),
  • C_P é a capacidade térmica molar (assumida constante),
  • T_2 é a temperatura desejada ( 325\\ \mathrm{K}).
  • Essa relação vem da definição diferencial dS=\dfrac{C_P}{T}\,dT integrada entre T_1 e T_2.
Vamos calcular o fator comum:
\ln\!\left(\frac{325}{298}\right)=\ln(1{,}090604\ldots)=0{,}086861\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Calcular S de cada espécie a 325\\ \mathrm{K} (contando unidades).
  • Para o ácido láctico:
S_{\text{láctico}}(325)=192{,}1 + 127{,}6\cdot 0{,}086861 = 192{,}1 + 11{,}089\approx 203{,}19\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.á
  • Para a glicose:
S_{\text{glicose}}(325)=209{,}2 + 219{,}2\cdot 0{,}086861 = 209{,}2 + 19{,}046\approx 228{,}25\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
(Guardei mais casas significativas nos intermediários; resultados arredondados apresentados com duas casas decimais.)

Passo 4

Calcular \Delta S_{\text{sys}} (variação de entropia do sistema) à 325\\ \mathrm{K}.
  • Definição para a reação: \Delta S_{\text{sys}}=\sum S_{\text{produtos}} - \sum S_{\text{reagentes}}.
  • Aqui:
\Delta S_{\text{sys}}=2\,S_{\text{láctico}}(325) - S_{\text{glicose}}(325).á
  • Substituindo valores:
\Delta S_{\text{sys}}=2\cdot 203{,}189 - 228{,}246 = 406{,}378 - 228{,}246 = 178{,}132\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
Portanto \Delta S_{\text{sys}}\approx 178{,}13\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}. (Sinal positivo: reação aumenta a entropia do sistema.)

Passo 5

Calcular \Delta H da reação a 325\\ \mathrm{K} (precisa disso para \Delta S_{\text{surr}}).
  • Primeiro, entalpia de reação padrão a 298\\ \mathrm{K}:
\Delta H_{rxn}^{\circ}(298)=2\Delta H_{f}^{\circ}(\text{láctico}) - \Delta H_{f}^{\circ}(\text{glicose}) =2(-673{,}6) - (-1273{,}1) = -1347{,}2 +1273{,}1 = -74{,}1\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.á
  • Ajuste para 325\\ \mathrm{K} usando \Delta H(T_2)=\Delta H(298)+\Delta C_P\,(T_2-298), onde
\Delta C_P = \sum C_{P,\text{produtos}} - \sum C_{P,\text{reagentes}} =2\cdot 127{,}6 - 219{,}2 = 255{,}2 - 219{,}2 = 36{,}0\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
  • Com \Delta T=325-298=27\\ \mathrm{K},
\Delta H(325)=\Delta H(298)+\Delta C_P\Delta T = -74{,}1\\ \mathrm{kJ} + \frac{36{,}0\cdot 27}{1000}\\ \mathrm{kJ} = -74{,}1 + 0{,}972 = -73{,}128\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Em Joules: \Delta H(325)=-73{,}128\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=-73\,128\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular \Delta S_{\text{surr}} à 325\\ \mathrm{K} e interpretar.
  • Para o entorno (arredores) trocando calor reversivelmente com o sistema a pressão constante,
\Delta S_{\text{surr}}=-\frac{q_{\text{sys}}}{T} = -\frac{\Delta H_{\text{sys}}}{T}.
Aqui usar \Delta H_{\text{sys}}=\Delta H(325).
  • Substituindo:
\Delta S_{\text{surr}} = -\frac{-73\,128\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}}{325\\ \mathrm{K}} = \frac{73\,128}{325}=225{,}01\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
Portanto \Delta S_{\text{surr}}\approx 225{,}01\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}. (Reação exergônica libera calor e aumenta a entropia do entorno.)

Passo 7

Calcular \Delta S_{\text{universo}} e comentar implicação de espontaneidade.
  • A entropia do universo é soma do sistema com os arredores:
\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.
  • Numérico:
\Delta S_{\text{univ}}=178{,}132 + 225{,}009 = 403{,}141\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
Logo \Delta S_{\text{univ}}\approx 403{,}14\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}. Como é positivo, a reação é espontânea sob as condições consideradas (a 325 K, sob pressão constante, a contribuição de entropia do universo é favorável).

Resposta

\Delta S_{\text{sys}}=178{,}13\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}
\Delta S_{\text{surr}}=225{,}01\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}
\Delta S_{\text{univ}}=403{,}14\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}

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