Calculate, \Delta S for the system, the surroundings, and the universe at T=325 \mathrm{~K}. Assume the heat capacities are constant between T=298 \mathrm{~K} and T=330 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \Delta S do sistema, das vizinhanças (surroundings) e do universo, dando a temperatura \,T=325\\ \mathrm{K}\, e a hipótese de capacidades térmicas constantes entre 298\\ \mathrm{K} e 330\\ \mathrm{K}.
Informações explicitamente fornecidas:
  • Uma temperatura relevante T=325\\ \mathrm{K}.
  • Capacidade calorífica considerada constante no intervalo 298\\ \mathrm{K} a 330\\ \mathrm{K}.
Informações que NÃO foram fornecidas no enunciado e que são necessárias para um valor numérico:
  • Qual é o processo térmico exatamente (por exemplo: aquecimento do sistema de T_1=298\\ \mathrm{K} para T_2=330\\ \mathrm{K}?). Se essa é a intenção, vou assumir T_1=298\\ \mathrm{K} e T_2=330\\ \mathrm{K} mais abaixo como hipótese natural; se não for, não há como calcular numericamente.
  • O valor da capacidade térmica total C_p (ou o C_{p,m} molar e o número de mols n, ou a massa e o c_p específico). Sem C_p não se obtém um número em \mathrm{J/K}.
  • Confirmação de que as vizinhanças são um reservatório térmico grande à T_{\text{res}}=325\\ \mathrm{K} (pressuposição usual quando se dá uma temperatura fixa para as vizinhanças).
Como não posso pedir mais dados, seguirei o caso mais provável e didático: o sistema é aquecido de T_1=298\\ \mathrm{K} a T_2=330\\ \mathrm{K}, com capacidade térmica total constante C_p, e as vizinhanças formam um reservatório a T_{\text{res}}=325\\ \mathrm{K}. Se alguma destas suposições estiver errada, os resultados numéricos abaixo não se aplicam.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (aula rápida e amiga).
  • Entropia: para um sistema que sofre uma variação de temperatura de maneira reversível, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{sys}}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta q_{\text{rev}}}{T}.
  • Se o processo for apenas aquecimento a pressão (ou a C_p aplicável) com capacidade térmica constante C_p, então o calor reversível diferencial é \delta q_{\text{rev}}=C_p\,dT. Substituindo,
\Delta S_{\text{sys}}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p\,dT}{T}=C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicação das variáveis:
  • C_p é a capacidade calorífica total do sistema (unidade \mathrm{J/K}). Se só se conhece a capacidade molar C_{p,m} e o número de mols n, então C_p=nC_{p,m}. Se só se conhece c_p (capacidade mássica), então C_p = m c_p.
  • T_1 e T_2 são temperaturas inicial e final do sistema, em kelvin.

Passo 3

Entropia das vizinhanças (surroundings).
  • Para vizinhanças que atuam como um grande reservatório térmico mantido à temperatura constante T_{\text{res}}, a variação de entropia das vizinhanças é simplesmente
\Delta S_{\text{surr}}=\frac{q_{\text{surr}}}{T_{\text{res}}},
onde q_{\text{surr}} é o calor absorvido pelas vizinhanças. Como o calor sai do reservatório e entra no sistema, q_{\text{surr}}=-q_{\text{sys}}.
  • Para o aquecimento do sistema com C_p constante, o calor absorvido pelo sistema é
q_{\text{sys}}=\int_{T_1}^{T_2} C_p\,dT = C_p(T_2-T_1).
Portanto, tomando T_{\text{res}}=325\\ \mathrm{K},
\Delta S_{\text{surr}}=-\frac{C_p(T_2-T_1)}{T_{\text{res}}}.
Observação didática: esta expressão pressupõe que o reservatório permanece à temperatura fixa T_{\text{res}} durante todo o processo — é a suposição clássica de “vizinhanças grande”.

Passo 4

Entropia do universo e interpretação.
  • A entropia total do universo (sistema + vizinhanças) é
\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.
Substituindo as expressões anteriores:
\Delta S_{\text{univ}}=C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-\frac{C_p(T_2-T_1)}{T_{\text{res}}} = C_p\left[\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-\frac{T_2-T_1}{T_{\text{res}}}\right].
  • Observação importante: C_p é apenas um fator multiplicativo. O sinal de \Delta S_{\text{univ}} (positivo, nulo ou negativo) vem do termo entre colchetes. Se o processo de aquecimento for espontâneo e irreversível trocando calor com reservatório a T_{\text{res}}, normalmente espera-se \Delta S_{\text{univ}}\ge 0.

Passo 5

Avaliação numérica parcial usando os valores prováveis T_1=298\\ \mathrm{K}, T_2=330\\ \mathrm{K} e T_{\text{res}}=325\\ \mathrm{K}.
  • Calcule o fator adimensional para cada termo (isto elimina a necessidade imediata de conhecer C_p; dá o resultado "por unidade de C_p"):
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{330}{298}\right)\approx 0{,}10200508,
\frac{T_2-T_1}{T_{\text{res}}}=\frac{330-298}{325}=\frac{32}{325}\approx 0{,}09846154.
  • Assim,
\Delta S_{\text{sys}}=C_p\cdot 0{,}10200508,
\Delta S_{\text{surr}}=-C_p\cdot 0{,}09846154,
\Delta S_{\text{univ}}=C_p\cdot(0{,}10200508-0{,}09846154)=C_p\cdot 0{,}00354354.
  • Interpretação: sem saber C_p não se obtém os valores em \mathrm{J/K}, mas o sinal de \Delta S_{\text{univ}} é positivo (valor pequeno por unidade de C_p), indicando aumento total de entropia — bom sinal termodinâmico (processo globalmente irreversível ou espontâneo nesse modelo).

Passo 6

Como transformar o resultado "por unidade de C_p" em número concreto.
  • Se for dada a capacidade molar C_{p,m} e o número de mols n, então C_p=nC_{p,m} e basta multiplicar:
\Delta S_{\text{univ}}=nC_{p,m}\cdot 0{,}00354354\\ \mathrm{(J/K)}.
  • Se for dada a massa m e c_p específico, então C_p=m c_p e
\Delta S_{\text{univ}}=m c_p\cdot 0{,}00354354\\ \mathrm{(J/K)}.
  • Exemplo rápido e ilustrativo (não solicitado, só para ver a ordem): para n=1 mol e C_{p,m}=29{,}1\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} teria \Delta S_{\text{univ}}\approx 29{,}1\times0{,}00354354\approx0{,}103\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

\displaystyle \Delta S_{\text{sys}}=C_p\ln\!\left(\dfrac{330}{298}\right)\approx C_p\cdot0{,}10200508
\displaystyle \Delta S_{\text{surr}}=-\dfrac{C_p(330-298)}{325}\approx -C_p\cdot0{,}09846154
\displaystyle \Delta S_{\text{univ}}=C_p\!\left[\ln\!\left(\dfrac{330}{298}\right)-\dfrac{330-298}{325}\right]\approx C_p\cdot0{,}00354354

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