3 x^2+6 x+9(x^2+2 x+5)(x^2+2 x+2)=A x+Bx^2+2 x+5+C x+Dx^2+2 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer uma decomposição em frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional (ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios) e queremos separar em partes mais simples. Para isso, vamos precisar lembrar de como somar frações e como trabalhar com polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a igualdade que o problema nos dá:
3 x^2+6 x+9(x^2+2 x+5)(x^2+2 x+2) = A x+Bx^2+2 x+5 + C x+Dx^2+2 x+2
A ideia é encontrar os valores de , , e que fazem essa igualdade verdadeira.

Passo 3

Para facilitar, vamos eliminar os denominadores. Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 3 x^2+6 x+9 = (A x + B)(x^2 + 2 x + 2) + (C x + D)(x^2 + 2 x + 5) :

Passo 4

Agora, vamos expandir os produtos no lado direito:
(A x + B)(x^2 + 2 x + 2) &= A x cdot x^2 + A x cdot 2x + A x cdot 2 + B cdot x^2 + B cdot 2x + B cdot 2 &= A x^3 + 2A x^2 + 2A x + B x^2 + 2B x + 2B
(C x + D)(x^2 + 2 x + 5) &= C x cdot x^2 + C x cdot 2x + C x cdot 5 + D cdot x^2 + D cdot 2x + D cdot 5 &= C x^3 + 2C x^2 + 5C x + D x^2 + 2D x + 5D
Somando tudo, temos:
A x^3 + 2A x^2 + 2A x + B x^2 + 2B x + 2B + C x^3 + 2C x^2 + 5C x + D x^2 + 2D x + 5D
Agrupando os termos semelhantes:
(A + C) x^3 + (2A + B + 2C + D) x^2 + (2A + 2B + 5C + 2D) x + (2B + 5D)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Do lado esquerdo, temos:
3 x^2 + 6 x + 9
Isso significa que:
  • O coeficiente de é 0 no lado esquerdo.
  • O coeficiente de é 3.
  • O coeficiente de é 6.
  • O termo constante é 9.
Igualando aos coeficientes do lado direito:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )
  4. (termo constante)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Substituindo na segunda equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Quarta equação permanece:
Agora, sabemos que . Vamos resolver esse sistema:
Da equação , temos .
Substituindo na quarta equação:
Agora,
Substituindo e os valores de e na terceira equação:
Então,

Resposta

Os valores são:
  • 3 x^2+6 x+9(x^2+2 x+5)(x^2+2 x+2) = 2x^2+2 x+5 + 1x^2+2 x+2
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:

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