Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer uma decomposição em frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional (ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios) e queremos separar em partes mais simples. Para isso, vamos precisar lembrar de como somar frações e como trabalhar com polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a igualdade que o problema nos dá:
A ideia é encontrar os valores de
,
,
e
que fazem essa igualdade verdadeira.
Passo 3
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores. Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 4
Agora, vamos expandir os produtos no lado direito:
Somando tudo, temos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Do lado esquerdo, temos:
Isso significa que:
- O coeficiente de
é 0 no lado esquerdo. - O coeficiente de
é 3. - O coeficiente de
é 6. - O termo constante é 9.
Igualando aos coeficientes do lado direito:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
→ - Substituindo
na segunda equação:
→ - Substituindo
na terceira equação:
→ - Quarta equação permanece:
Agora, sabemos que
. Vamos resolver esse sistema:
Da equação
, temos
.
Substituindo
na quarta equação:
Agora,
Substituindo
e os valores de
e
na terceira equação:
Então,
Resposta
Os valores são:
Portanto, a decomposição em frações parciais fica: