4.26- Um cilindro oco de altura é mergulhado em água até uma profundidade . Determinar a altura de água dentro do cilindro supondo que o ar aprisionado no cilindro se comprima adiabaticamente, durante o processo. Dado: leitura barométrica local .
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro oco, de altura
, aberto embaixo e contendo ar inicialmente à pressão atmosférica
. A profundidade até o fundo do cilindro, medido a partir da superfície livre da água, é
. Ao mergulhar, o ar aprisionado se comprime adiabaticamente (expoente
) e a água sobe até uma altura
dentro do cilindro. Precisamos usar:
- equilíbrio hidrostático no nível água-ar dentro do cilindro,
- relação de processo adiabático
.
Passo 2
Definindo estados inicial e final do ar:
– Estado 1 (antes de mergulhar):
– Estado 1 (antes de mergulhar):
– Estado 2 (após subir água até
):
Aqui
é a área da seção do cilindro (vai se cancelar).
Passo 3
Equilíbrio hidrostático no ponto de interface água-ar (profundidade
abaixo da superfície):
com
e
.
Passo 4
Processo adiabático do ar:
Cancelando
e isolando
:
Passo 5
Igualamos as duas expressões para
:
Substituímos
,
,
,
,
,
, e obtemos a equação a resolver numericamente em
:
Passo 6
Fazendo a resolução numérica (por tentativa ou método de Newton), encontramos
Resposta
A altura da água que sobe dentro do cilindro é