4.26- Um cilindro oco de altura é mergulhado em água até uma profundidade . Determinar a altura de água dentro do cilindro supondo que o ar aprisionado no cilindro se comprima adiabaticamente, durante o processo. Dado: leitura barométrica local .

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro oco, de altura L=0{,}20\rm\;m, aberto embaixo e contendo ar inicialmente à pressão atmosférica P_{1}=P_{\rm atm}. A profundidade até o fundo do cilindro, medido a partir da superfície livre da água, é h=1{,}00\rm\;m. Ao mergulhar, o ar aprisionado se comprime adiabatica­mente (expoente \gamma=1{,}4) e a água sobe até uma altura x dentro do cilindro. Precisamos usar:
  • equilíbrio hidrostático no nível água-ar dentro do cilindro,
  • relação de processo adiabático P\,V^\gamma=\text{constante}.

Passo 2

Definindo estados inicial e final do ar:
– Estado 1 (antes de mergulhar):
P_{1}=P_{\rm atm},\quad V_{1}=A\,L
– Estado 2 (após subir água até x):
P_{2}=\text{pressão do ar comprimido},\quad V_{2}=A\,(L - x).ã
Aqui A é a área da seção do cilindro (vai se cancelar).

Passo 3

Equilíbrio hidrostático no ponto de interface água-ar (profundidade h - x abaixo da superfície):
P_{2}=P_{\rm atm}+\rho\,g\,(h - x),
com \rho=1000\rm\;kg/m^3 e g=9{,}81\rm\;m/s^2.

Passo 4

Processo adiabático do ar:
P_{1}\,V_{1}^\gamma \;=\;P_{2}\,V_{2}^\gamma \quad\Longrightarrow\quad P_{\rm atm}\,(A\,L)^\gamma = P_{2}\,[A\,(L - x)]^\gamma
Cancelando A^\gamma e isolando P_{2}:
P_{2} = P_{\rm atm}\,\Bigl(\frac{L}{L - x}\Bigr)^{\!\gamma}.

Passo 5

Igualamos as duas expressões para P_{2}:
P_{\rm atm}\,\Bigl(\frac{L}{L - x}\Bigr)^{\!\gamma} = P_{\rm atm}+\rho\,g\,(h - x).
Substituímos L=0{,}20, h=1{,}00, P_{\rm atm}=1{,}013\times10^{5}\rm\;Pa, \rho=1000\rm\;kg/m^3, g=9{,}81\rm\;m/s^2, \gamma=1{,}4, e obtemos a equação a resolver numericamente em x:
1{,}013\cdot10^{5}\,\Bigl(\frac{0{,}20}{0{,}20 - x}\Bigr)^{1{,}4} = 1{,}013\cdot10^{5} + 1000\cdot9{,}81\,(1{,}00 - x).

Passo 6

Fazendo a resolução numérica (por tentativa ou método de Newton), encontramos
x \approx 0{,}012\rm\;m.

Resposta

A altura da água que sobe dentro do cilindro é
\boxed{x \approx 0{,}012\rm\;m.}

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