6.7- O peso específico de um “iceberg” é de 8.970 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} e o da água do mar é 10.040 \mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}. Se da superfície livre do mar emerge um volume de “iceberg” igual a 30.000 \mathrm{~m}^{3} qual é o volume total do “iceberg” ?

Passo 1

O enunciado dá o peso específico do iceberg \gamma_{\text{ice}} = 8{,}970\,\mathrm{N/m^3} e da água do mar \gamma_{\text{water}} = 10{,}040\,\mathrm{N/m^3}. Sabe-se que acima da superfície fica V_{\text{emer}} = 30\,000\,\mathrm{m^3}. Para encontrar o volume total V do iceberg, vamos usar o Princípio de Arquimedes: a força de empuxo iguala o peso do iceberg.

Passo 2

Pelo Princípio de Arquimedes, temos
E = P_{\text{ice}}.
Aqui P_{\text{ice}} = \gamma_{\text{ice}}\,V e a força de empuxo é
E = \gamma_{\text{water}}\,V_{\text{sub}},
onde o volume submerso é V_{\text{sub}} = V - V_{\text{emer}}.

Passo 3

Igualando empuxo e peso:
\gamma_{\text{water}}\,(V - V_{\text{emer}}) \;=\;\gamma_{\text{ice}}\,V.
Reorganizando:
\gamma_{\text{water}}\,V - \gamma_{\text{ice}}\,V = \gamma_{\text{water}}\,V_{\text{emer}} \quad\Rightarrow\quad V\,(\gamma_{\text{water}} - \gamma_{\text{ice}}) = \gamma_{\text{water}}\,V_{\text{emer}}.
Assim,
V = \frac{\gamma_{\text{water}}}{\gamma_{\text{water}} - \gamma_{\text{ice}}}\;V_{\text{emer}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\gamma_{\text{water}} - \gamma_{\text{ice}} = 10{,}040 - 8{,}970 = 1{,}070\;\mathrm{N/m^3},
V = \frac{10{,}040}{1{,}070}\times 30\,000 \approx 9{,}38318\times 30\,000 \approx 281\,495{,}3\;\mathrm{m^3}.

Resposta

O volume total do iceberg é aproximadamente 281\,500\;\mathrm{m^3}.

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