Determine o polinômio característico e trace o lugar geométrico das raízes para 0 \leq K<\infty. Para quais valores de K o sistema é estável?
Passo 1
O enunciado dá um sistema com uma única entrada e saída e matriz \mathbf{A} dependente do parâmetro K. Ele pede três coisas: (i) determinar o polinômio característico do sistema (ou seja, o polinômio \det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})); (ii) traçar (descrever) o lugar geométrico das raízes para 0 \le K < \infty; (iii) dizer para quais valores de K o sistema é estável. Informações dadas:
A partir daqui vamos calcular o polinômio característico e construir passo a passo o lugar das raízes e a condição de estabilidade.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico: por definição é \det(s\mathbf{I}-\mathbf{A}). Para a matriz 2\times2 usamos a fórmula da determinante \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Aqui
Interpretação para fazer o lugar das raízes: escrevemos a equação característica na forma que aparece em lugares geométricos clássicos 1+K\,G(s)=0. Reescrevendo
Regras do lugar geométrico (explicando de forma simples):
O lugar das raízes tem ramos que partem dos polos (aqui s=1 e s=-3) para os zeros finitos (aqui s=-1) ou para zeros no infinito.
No eixo real, um ponto pertence ao lugar se o número de polos+zeros à direita dele for ímpar. Aplicando isso:
Intervalo (1,\infty): nenhum polo/zero à direita ⇒ par ⇒ não pertence.
Intervalo (-1,1): há exatamente 1 (o polo em s=1) à direita ⇒ ímpar ⇒ pertence.
Intervalo (-3,-1): há 2 (polos em 1 e zero em -1) à direita ⇒ par ⇒ não pertence.
Intervalo (-\infty,-3): há 3 (polos 1,-3 e zero -1) à direita ⇒ ímpar ⇒ pertence.
Portanto os trechos reais do lugar são (-\infty,-3) e (-1,1).
Passo 6
Assíntotas e centróide (caso em que existem mais polos do que zeros): número de polos p=2, número de zeros z=1, logo p-z=1 assíntota rumo ao infinito. O centróide \sigma das assíntotas é dado por
Como há uma única assíntota, sua direção é \angle 180^\circ (ou seja, para a esquerda ao longo do eixo real a partir de \mathrm{Re}=-1). Isso confirma que um ramo tende para -\infty pela esquerda com centróide em -1.
Passo 7
Comportamento dos ramos e conclusão do traçado: os dois ramos saem dos polos em s=1 e s=-3. As regras e o centróide mostram:
O ramo que sai de s=-3 segue para a esquerda ao longo do intervalo (-\infty,-3) e tende para -\infty (assíntota com centróide em -1).
O ramo que sai de s=1 percorre o trecho real (-1,1) em direção a s=-1 e termina no zero em s=-1 quando K cresce.
Não há encurvamento para complexo porque as raízes serão sempre reais (ver passo seguinte).
Passo 8
Mostrar explicitamente que as raízes são sempre reais: a equação é quadrática, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Para
p(s)=s^2+(2+K)s+(K-3),
o discriminante é
\Delta=(2+K)^2-4(K-3)=K^2+16.
Como \Delta=K^2+16>0 para todo K, as duas raízes são reais para todo K\ge0. Aplicando a fórmula:
s=\frac{-(2+K)\pm\sqrt{K^2+16}}{2}.
Analisando os limites quando K\to\infty: usando expansão assintótica obtemos um ramo aproximando-se de s=-1 e o outro tendendo a -\infty, conforme discutido no passo 6.
Passo 9
Condição de estabilidade (aula rápida): para um polinômio de segundo grau
s^2+a_1 s + a_0,
a condição necessária e suficiente para estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) é a_1>0 e a_0>0. No nosso caso a_1=2+K e a_0=K-3. Para K\ge0 temos a_1=2+K>0 sempre, então a condição relevante é a_0>0, ou seja
K-3>0 \quad\Longrightarrow\quad K>3.
Também podemos ver pela fórmula das raízes que em K=3 uma raiz é s=0 (marginal) e para K<3 uma raiz é positiva (instável). Portanto o sistema é assintoticamente estável exatamente para K>3. Incentivo rápido: se ficar na dúvida, usar Routh-Hurwitz para ordem 2 dá a mesma condição.
Resposta
Polinômio característico: s^2+(2+K)s+(K-3)
Lugar geométrico das raízes (resumo): polos em s=1 e s=-3, zero em s=-1; ramos reais nos intervalos (-\infty,-3) e (-1,1); centróide das assíntotas em \mathrm{Re}=-1 com uma assíntota na direção \angle180^\circ; as raízes são sempre reais (\Delta=K^2+16>0); para K\to\infty um polo tende a s=-1 e o outro a -\infty.
Sistema estável para: K>3.