E6.12 Um sistema possui a equação característica de segunda ordem
s^{2}+a s+b=0,
em que a e b são parâmetros constantes. Determine as condições necessárias e suficientes para que o sistema seja estável. É possível se determinar a estabilidade de um sistema de segunda ordem apenas inspecionando-se os coeficientes da equação característica?

Passo 1

O enunciado dá a equação característica de segunda ordem
s^{2}+a s+b=0,
com a e b constantes. Pede-se (1) determinar as condições necessárias e suficientes para que o sistema seja estável e (2) responder se é possível decidir a estabilidade de um sistema de segunda ordem apenas inspecionando os coeficientes da equação característica.
Informações relevantes dadas: os coeficientes da equação característica são a e b, e a forma do polinômio é monômio principal com coeficiente 1 (ou seja, é da forma padrão de segundo grau).

Passo 2

Primeiro precisamos entender rigorosamente o que significa “sistema estável” aqui. Vou usar a definição usual para sistemas lineares contínuos: o sistema é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes (pólos) da equação característica têm parte real negativa. Ou seja, dadas as raízes r_1 e r_2 do polinômio, a condição de estabilidade é
\Re(r_1)<0\quad\text{e}\quad\Re(r_2)<0.
Agora uma relação útil entre coeficientes e raízes (fórmulas de Viète) para o polinômio monico s^{2}+a s+b: se r_1 e r_2 são as raízes então
r_1 + r_2 = -a,
r_1 r_2 = b.
Vou usar essas relações para conectar sinais de a e b com a posição das raízes no plano complexo.

Passo 3

Mostro primeiro condições necessárias. Suponha que o sistema seja estável, isto é \Re(r_1)<0 e \Re(r_2)<0.
  • Como a soma das partes reais é a parte real da soma, temos
\Re(r_1+r_2)=\Re(r_1)+\Re(r_2) < 0.
Mas r_1+r_2=-a, número real. Então -a<0, ou seja
a>0.
  • Para o produto: se ambos têm parte real negativa, não é possível que o produto seja negativo (podemos mostrar: se são reais e negativos, o produto é positivo; se são conjugados complexos \alpha\pm j\beta com \alpha<0, então r_1 r_2=\alpha^2+\beta^2>0). Logo, obrigatoriamente
b>0.
Portanto, condições necessárias: a>0 e b>0.

Passo 4

Agora mostro que a>0 e b>0 são também suficientes. Ou seja, se a>0 e b>0 então ambas as raízes têm parte real negativa. Vou dividir em casos segundo o discriminante.
As raízes do polinômio são dadas pela fórmula quadrática:
s=\frac{-a\pm\sqrt{a^{2}-4b}}{2}.
Caso A: discriminante negativo, a^{2}-4b<0. Então a raiz quadrada é imaginária, escrevemos as raízes como
s=\frac{-a}{2}\pm j\frac{\sqrt{4b-a^{2}}}{2}.
A parte real de ambas as raízes é -a/2. Como assumimos a>0, segue -a/2<0. Logo ambas as raízes têm parte real negativa → estável.
Caso B: discriminante zero, a^{2}-4b=0. As duas raízes coincidem:
s=\frac{-a}{2}.
Como a>0, temos s=-a/2<0. Raiz dupla negativa → estável.
Caso C: discriminante positivo, a^{2}-4b>0. As raízes são reais distintas:
s_{1}=\frac{-a+\sqrt{a^{2}-4b}}{2},\qquad s_{2}=\frac{-a-\sqrt{a^{2}-4b}}{2}.
Note que \sqrt{a^{2}-4b}<\sqrt{a^{2}}=a porque 4b>0. Assim -a+\sqrt{a^{2}-4b}<0, então s_{1}<0. Evidentemente s_{2}<0 pois -a-\sqrt{a^{2}-4b} é ainda mais negativo. Logo ambas negativas → estável.
Concluímos: a>0 e b>0 implicam que ambas as raízes têm parte real negativa. Portanto as condições são também suficientes.

Passo 5

Resumo matemático do que provamos: as condições necessárias e suficientes para estabilidade assintótica do sistema com equação característica \;s^{2}+a s+b=0\; são
a>0\quad\text{e}\quad b>0.
Isto equivale ao conhecido critério de Routh–Hurwitz para segundo grau: todos os coeficientes do polinômio (para um polinômio monico) devem ser positivos.

Passo 6

Vou discutir casos-limite e exemplos — isso ajuda a interpretar melhor na hora da prova.
  • Caso \;b=0: as raízes são s=0 e s=-a. Há um polo em zero; o sistema não é assintoticamente estável (pólo em zero dá estabilidade marginal, tipicamente não assintótica).
  • Caso \;a=0 e b>0: as raízes são puramente imaginárias \pm j\sqrt{b} → estabilidade marginal (oscilação permanente), não assintótica.
  • Caso a\le 0 ou b\le 0 com pelo menos um não positivo (exceto situação de ambos negativos especiais), o sistema é instável ou marginal dependendo do caso. Exemplos numéricos rápidos:
    • a=3,\;b=2: a>0,b>0 → estável. Raízes: \frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{-3\pm1}{2}\Rightarrow -1,\,-2.
    • a=1,\;b=-2: b<0 → produto das raízes negativo → uma raiz positiva → instável.
    • a=0,\;b=1: raízes \pm j → marginal.

Passo 7

Relação prática para prova (resumindo o que precisa decorar e usar rapidamente):
  • Dado \;s^{2}+a s+b=0, basta olhar os sinais de a e b.
  • Se \;a>0 e \;b>0 → sistema assintoticamente estável.
  • Se \;a\le 0 ou \;b\le 0 (com atenção aos casos-limite a=0 ou b=0) → não assintoticamente estável (instável ou marginal).
    Isso permite decidir estabilidade só inspecionando coeficientes nesse caso de segunda ordem monica com coeficientes reais.

Resposta

a>0 e b>0.\nSim — para o polinômio monico de segunda ordem s^{2}+a s+b com coeficientes reais, a estabilidade assintótica ocorre se, e somente se, a>0 e b>0.

Exercícios relacionados