E6.12 Um sistema possui a equação característica de segunda ordem
em que
e
são parâmetros constantes. Determine as condições necessárias e suficientes para que o sistema seja estável. É possível se determinar a estabilidade de um sistema de segunda ordem apenas inspecionando-se os coeficientes da equação característica?
Passo 1
O enunciado dá a equação característica de segunda ordem
com
e
constantes. Pede-se (1) determinar as condições necessárias e suficientes para que o sistema seja estável e (2) responder se é possível decidir a estabilidade de um sistema de segunda ordem apenas inspecionando os coeficientes da equação característica.
Informações relevantes dadas: os coeficientes da equação característica são e
, e a forma do polinômio é monômio principal com coeficiente
(ou seja, é da forma padrão de segundo grau).
Informações relevantes dadas: os coeficientes da equação característica são
Passo 2
Primeiro precisamos entender rigorosamente o que significa “sistema estável” aqui. Vou usar a definição usual para sistemas lineares contínuos: o sistema é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes (pólos) da equação característica têm parte real negativa. Ou seja, dadas as raízes
e
do polinômio, a condição de estabilidade é
Agora uma relação útil entre coeficientes e raízes (fórmulas de Viète) para o polinômio monico
: se
e
são as raízes então
Vou usar essas relações para conectar sinais de
e
com a posição das raízes no plano complexo.
Passo 3
Mostro primeiro condições necessárias. Suponha que o sistema seja estável, isto é
e
.
- Como a soma das partes reais é a parte real da soma, temos
Mas
, número real. Então
, ou seja
- Para o produto: se ambos têm parte real negativa, não é possível que o produto seja negativo (podemos mostrar: se são reais e negativos, o produto é positivo; se são conjugados complexos
com , então ). Logo, obrigatoriamente
Portanto, condições necessárias:
e
.
Passo 4
Agora mostro que
e
são também suficientes. Ou seja, se
e
então ambas as raízes têm parte real negativa. Vou dividir em casos segundo o discriminante.
As raízes do polinômio são dadas pela fórmula quadrática:
Caso A: discriminante negativo,
. Então a raiz quadrada é imaginária, escrevemos as raízes como
A parte real de ambas as raízes é
. Como assumimos
, segue
. Logo ambas as raízes têm parte real negativa → estável.
Caso B: discriminante zero,
. As duas raízes coincidem:
Como
, temos
. Raiz dupla negativa → estável.
Caso C: discriminante positivo,
. As raízes são reais distintas:
Note que
porque
. Assim
, então
. Evidentemente
pois
é ainda mais negativo. Logo ambas negativas → estável.
Concluímos:
e
implicam que ambas as raízes têm parte real negativa. Portanto as condições são também suficientes.
Passo 5
Resumo matemático do que provamos: as condições necessárias e suficientes para estabilidade assintótica do sistema com equação característica
são
Isto equivale ao conhecido critério de Routh–Hurwitz para segundo grau: todos os coeficientes do polinômio (para um polinômio monico) devem ser positivos.
Passo 6
Vou discutir casos-limite e exemplos — isso ajuda a interpretar melhor na hora da prova.
- Caso
: as raízes são e . Há um polo em zero; o sistema não é assintoticamente estável (pólo em zero dá estabilidade marginal, tipicamente não assintótica). - Caso
e : as raízes são puramente imaginárias → estabilidade marginal (oscilação permanente), não assintótica. - Caso
ou com pelo menos um não positivo (exceto situação de ambos negativos especiais), o sistema é instável ou marginal dependendo do caso. Exemplos numéricos rápidos: -
: → estável. Raízes: . -
: → produto das raízes negativo → uma raiz positiva → instável. -
: raízes → marginal.
-
Passo 7
Relação prática para prova (resumindo o que precisa decorar e usar rapidamente):
- Dado
, basta olhar os sinais de e . - Se
e → sistema assintoticamente estável. - Se
ou (com atenção aos casos-limite ou ) → não assintoticamente estável (instável ou marginal).
Isso permite decidir estabilidade só inspecionando coeficientes nesse caso de segunda ordem monica com coeficientes reais.