3.27* Qual é o momento (quantidade de movimento) de um fóton de raio-x de 10^{17} \mathrm{~Hz} ?

Passo 1

O problema pergunta qual é o momento (quantidade de movimento) de um fóton de raios‑X cuja frequência é \,10^{17}\\ \mathrm{Hz}.
Informações dadas:
  • frequência do fóton: \nu = 10^{17}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. Mesmo sem massa de repouso, um fóton tem momento linear dado por
p=\frac{E}{c},
onde:
  • p é o momento linear (unidade \mathrm{kg\cdot m/s});
  • E é a energia do fóton (unidade \mathrm{J});
  • c é a velocidade da luz no vácuo (unidade \mathrm{m/s}).
A energia de um fóton é dada pela relação de Planck
E=h\nu,
onde:
  • h é a constante de Planck: h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s};
  • \nu é a frequência (aqui \nu=10^{17}\\ \mathrm{Hz}).
Combinando as duas fórmulas obtemos a expressão direta para o momento do fóton:
p=\frac{h\nu}{c}.
Também vale a forma alternativa \,p=\dfrac{h}{\lambda}\, porque \lambda=c/\nu, mas usaremos \,p=h\nu/c.

Passo 3

Substituir os valores numéricos. Usaremos c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Então
p=\frac{6,62607015\times10^{-34}\times 10^{17}}{2,99792458\times10^{8}}.
Agora simplificamos as potências de dez:
6,62607015\times10^{-34}\times10^{17}=6,62607015\times10^{-17}.
Portanto
p=\frac{6,62607015\times10^{-17}}{2,99792458\times10^{8}}.
Separe mantissas e potências:
p=\left(\frac{6,62607015}{2,99792458}\right)\times10^{-17-8} =\left(\frac{6,62607015}{2,99792458}\right)\times10^{-25}.
Calcule a divisão das mantissas (aproximação suficiente para prova):
\frac{6,62607015}{2,99792458}\approx 2,21.
Portanto
p\approx 2,21\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Para dar intuição rápida: a energia do fóton é
E=h\nu=6,62607015\times10^{-34}\times10^{17}=6,62607015\times10^{-17}\\ \mathrm{J},
o que em elétron‑volts é aproximadamente
E\approx\frac{6,626\times10^{-17}}{1,602\times10^{-19}}\approx 414\\ \mathrm{eV},
valor compatível com raios‑X/UV duros. A largura de onda é
\lambda=\frac{c}{\nu}\approx\frac{2,9979\times10^{8}}{10^{17}}\approx 3,0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=3{,}0\\ \mathrm{nm},
e verificando p=h/\lambda também dá o mesmo resultado numérico.

Resposta

p=2,21\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}