T(x, y) = 2xy + 2x - x^2 - 2y^2 + 72
Se a placa tiver 8 m de comprimento (dimensão x ) e 6 m de largura (dimensão y ), calcule a temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com:
a) 9 pontos na discretização
b) 800 x 600 = 480000 pontos na discretização
c) Calcule a temperatura média resolvendo analiticamente a integral e compare os resultados.
Obs: assuma que a origem do sistema de coordenadas coincide com o vértice inferior esquerdo da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura média de uma placa retangular usando tanto integrais numéricas quanto uma solução analítica. A placa tem 8 metros de comprimento (dimensão ) e 6 metros de largura (dimensão ). A temperatura em cada ponto da placa é dada pela função:
Vamos precisar usar conceitos de integrais duplas para encontrar a temperatura média. Além disso, vamos aplicar métodos de integração numérica com diferentes discretizações para estimar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é temperatura média. A temperatura média de uma placa é calculada pela fórmula:
Onde é a área total da placa. No nosso caso, ².

Passo 3

Agora, vamos para a parte a) do exercício, que pede para calcular a temperatura média usando integrais numéricas com 9 pontos na discretização. Isso significa que vamos dividir a placa em uma grade de 3 linhas e 3 colunas, totalizando 9 pontos.

Passo 4

Para a discretização de 9 pontos, cada ponto estará localizado no centro de cada subárea da placa. Então, cada subárea terá dimensões:
A área de cada subárea é:
²

Passo 5

Agora, vamos identificar as coordenadas dos 9 pontos centrais. Eles estão localizados em:

Passo 6

Vamos calcular a temperatura em cada um desses pontos:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas temperaturas:

Passo 8

Agora, somamos todas essas temperaturas e multiplicamos pela área de cada ponto para obter a soma total das temperaturas na placa:
Multiplicando pela área de cada ponto:

Passo 9

Para encontrar a temperatura média, dividimos a temperatura total pela área total da placa:

Resposta

A temperatura média da placa, utilizando integrais numéricas com 9 pontos na discretização, é aproximadamente 64.35°C.

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