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Um painel de circuitos elétricos com a forma de placa plana possui externamente uma camada de 1 mm de um material A , cuja condutividade térmica é \mathrm{k}_{\mathrm{A}}=0,5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), e uma camada de 2,0 \mathrm{~mm} de um material B, com condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{B}}=0,4 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). Esse painel está exposto a um coeficiente convectivo externo \mathrm{h}=50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) do óleo de refrigeração.
Se o circuito elétrico gera em seu interior um fluxo térmico de 2.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, a que temperatura ele estará quando a temperatura ambiente for de 30^{\circ} \mathrm{C} ?
(A) 24^{\circ} \mathrm{C}
(B) 54^{\circ} \mathrm{C}
(C) 57^{\circ} \mathrm{C}
(D) 70^{\circ} \mathrm{C}
(E) 84^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dados:
\text{espessura do material A } L_A = 1{,}0\\ \text{mm} = 0{,}001\\ \mathrm{m}
\text{condutividade térmica de A } k_A = 0{,}5\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})é
\text{espessura do material B } L_B = 2{,}0\\ \text{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}
\text{condutividade térmica de B } k_B = 0{,}4\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})é
\text{coeficiente convectivo externo } h = 50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K})
\text{fluxo térmico gerado (por unidade de área) } \dot{q}'' = 2000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2éá
\text{temperatura ambiente } T_\infty = 30^\circ\mathrm{C}
Pergunta:
Qual é a temperatura do circuito (temperatura na superfície interna que gera o fluxo térmico) em graus Celsius?

Passo 2

Vamos transformar e organizar as unidades (já convertidas no Passo 1, só recapitular):
L_A = 0{,}001\\ \mathrm{m},\quad L_B = 0{,}002\\ \mathrm{m}
Todas as demais quantidades já estão em unidades do SI adequadas. A estratégia prática é tratar isso como uma rede térmica em série (resistências por unidade de área) entre a superfície interna (circuito) e o fluido ambiente.

Passo 3

Explicação do modelo físico e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para condução unidimensional estacionária num plano homogêneo (uma lâmina), a lei de Fourier dá, por unidade de área:
\dot{q}'' = k\,\frac{\Delta T}{L}.
Aqui \dot{q}'' é o fluxo de calor por área ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})), L é a espessura ( \mathrm{m}) e \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces. Reorganizando:
\Delta T = \dot{q}''\,\frac{L}{k}.
Isso mostra que a camada age como uma “resistência térmica” por unidade de área
R_{\text{cond}} = \frac{L}{k}\quad\left(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}\right).
  • Para convecção na superfície externa, a lei de Newton do resfriamento dá:
\dot{q}'' = h\,(T_s - T_\infty),
onde T_s é a temperatura da superfície externa e T_\infty é a temperatura do fluido ambiente. Reorganizando:
T_s - T_\infty = \dot{q}''\cdot\frac{1}{h}.
Assim a resistência convectiva por unidade de área é
R_{\text{conv}} = \frac{1}{h}\quad\left(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}\right).
  • Como as camadas A e B e a convecção estão em série, as resistências somam:
R_{\text{tot}} = R_{\text{conv}} + R_A + R_B.
A diferença de temperatura entre o circuito (temperatura interna T_{\text{int}}) e o ambiente é
T_{\text{int}} - T_\infty = \dot{q}''\,R_{\text{tot}}.
Finalmente,
T_{\text{int}} = T_\infty + \dot{q}''\,R_{\text{tot}}.

Passo 4

Calcular cada resistência numérica usando as fórmulas do passo anterior.
Resistência convectiva:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{50} = 0{,}02\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Resistência da camada A:
R_A=\frac{L_A}{k_A}=\frac{0{,}001}{0{,}5}=0{,}002\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Resistência da camada B:
R_B=\frac{L_B}{k_B}=\frac{0{,}002}{0{,}4}=0{,}005\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 5

Somar as resistências para obter a resistência térmica total:
R_{\text{tot}} = 0{,}02 + 0{,}002 + 0{,}005 = 0{,}027\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a diferença de temperatura entre o circuito e o ambiente:
\Delta T = \dot{q}''\,R_{\text{tot}} = 2000\cdot 0{,}027 = 54\\ \mathrm{K}.
Observação: para diferenças de temperatura, 1\\ \mathrm{K}=1^\circ\mathrm{C}, então podemos somar em graus Celsius.

Passo 7

Calcular a temperatura do circuito:
T_{\text{int}} = T_\infty + \Delta T = 30^\circ\mathrm{C} + 54^\circ\mathrm{C} = 84^\circ\mathrm{C}.

Resposta

E) 84^\circ\mathrm{C}

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