3.28* Para um sistema de apenas três partículas, elabore em detalhe o argumento que conduz de (3.20) a (3.26), \dot{\mathbf{L}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\text {ext }}, escrevendo todas as somas explicitamente.
Passo 1
O enunciado pede que, para um sistema composto por exatamente três partículas, a gente detalhe o argumento que leva de (3.20) a (3.26), isto é, que mostra
onde \mathbf{F}_{ji} é a força exercida sobre a partícula i pela partícula j.
\text{(iii) } \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\quad\text{(lei de ação e reação, Newton III, para forças internas entre pares).}
O que precisamos mostrar: escrevendo todas as somas explicitamente para três partículas, provar que as contribuições das forças internas às variações de \mathbf{L} se anulam (sob a hipótese usual de forças centrais entre pares) e portanto
Uma propriedade básica do produto vetorial é que um vetor cruz consigo mesmo é o vetor nulo, isto é, \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}. Logo para cada i
\dot{\mathbf{r}}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{0},
e a soma desses primeiros termos é zero. Portanto permanece somente
Agora explico a hipótese necessária para que cada um desses três termos seja nulo: forças internas centrais. “Forças centrais” entre um par i,j significa que a força exercida por j sobre i é paralela ao vetor relativo \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j. Em outras palavras existe um escalar f_{ji} tal que
porque um vetor cruz um múltiplo de si mesmo é nulo. O mesmo raciocínio anula os outros dois termos. Assim, sob a hipótese usual de forças internas centrais (além de \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}), a soma das contribuições internas é zero:
Observação importante (para a prova): apenas a igualdade vetorial \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji} não garante por si só que o torque interno some zero — é a colinearidade (forças centradas na linha que une as partículas) que assegura o cancelamento dos momentos internos.
Passo 7
Com a soma das forças internas anulada, voltamos à expressão de \dot{\mathbf{L}} obtida no Passo 3:
Definindo o torque externo total como \boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}, obtemos exatamente a relação desejada: