3.28* Para um sistema de apenas três partículas, elabore em detalhe o argumento que conduz de (3.20) a (3.26), \dot{\mathbf{L}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\text {ext }}, escrevendo todas as somas explicitamente.

Passo 1

O enunciado pede que, para um sistema composto por exatamente três partículas, a gente detalhe o argumento que leva de (3.20) a (3.26), isto é, que mostra
\dot{\mathbf{L}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}.
Informações/dados que o enunciado fornece ou pressupõe (vou listá‑las explicitamente para não me perder depois):
\text{(i) } \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i,
onde \mathbf{r}_i é o vetor posição da partícula i e \mathbf{p}_i=m_i\mathbf{v}_i sua quantidade de movimento.
\text{(ii) } \dot{\mathbf{p}}_i=\mathbf{F}_i^{\text{tot}}=\mathbf{F}_i^{\text{ext}}+\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ji},
onde \mathbf{F}_{ji} é a força exercida sobre a partícula i pela partícula j.
\text{(iii) } \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\quad\text{(lei de ação e reação, Newton III, para forças internas entre pares).}çãçãç
O que precisamos mostrar: escrevendo todas as somas explicitamente para três partículas, provar que as contribuições das forças internas às variações de \mathbf{L} se anulam (sob a hipótese usual de forças centrais entre pares) e portanto
\dot{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}\equiv\boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}.

Passo 2

Começamos derivando \mathbf{L} em relação ao tempo e escrevendo todas as somas (aqui uso a definição dada em (i)):
\dot{\mathbf{L}}=\frac{d}{dt}\!\left(\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i\right)=\sum_{i=1}^{3}\left(\dot{\mathbf{r}}_i\times\mathbf{p}_i+\mathbf{r}_i\times\dot{\mathbf{p}}_i\right).
Explico cada termo: \dot{\mathbf{r}}_i=\mathbf{v}_i e \mathbf{p}_i=m_i\mathbf{v}_i. Assim o primeiro termo de cada soma é
\dot{\mathbf{r}}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{v}_i\times(m_i\mathbf{v}_i)=m_i(\mathbf{v}_i\times\mathbf{v}_i).
Uma propriedade básica do produto vetorial é que um vetor cruz consigo mesmo é o vetor nulo, isto é, \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}. Logo para cada i
\dot{\mathbf{r}}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{0},
e a soma desses primeiros termos é zero. Portanto permanece somente
\dot{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\dot{\mathbf{p}}_i.
(Isto é um passo crucial: a parte envolvendo velocidades se anula porque \mathbf{p}_i é paralelo a \dot{\mathbf{r}}_i.)

Passo 3

Substituímos agora \dot{\mathbf{p}}_i pela soma das forças externa e das forças internas (veja (ii)):
\dot{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\left(\mathbf{F}_i^{\text{ext}}+\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ji}\right).
Distribuindo a soma:
\dot{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}} \;+\; \sum_{i=1}^{3}\sum_{j\ne i}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}.
A primeira soma é exatamente a soma dos torques (momentos) das forças externas; por definição chamamos isso de torque externo total:
\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}.
Resta analisar a double soma das forças internas e mostrar que ela se anula.

Passo 4

Escrevemos explicitamente a dupla soma das forças internas para as três partículas (aqui eu abro os termos para não deixar nada implícito):
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j\ne i}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji} = \mathbf{r}_1\times(\mathbf{F}_{21}+\mathbf{F}_{31}) +\mathbf{r}_2\times(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{32}) +\mathbf{r}_3\times(\mathbf{F}_{13}+\mathbf{F}_{23}).
Agora uso a relação de ação e reação \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji} para agrupar termos em pares convenientemente.

Passo 5

Agrupamos os termos correspondentes aos três pares (1,2),(1,3),(2,3). Primeiro par (1,2):
\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{21}+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{12} =\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{21}+\mathbf{r}_2\times(-\mathbf{F}_{21}) =(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\times\mathbf{F}_{21}.
Segundo par (1,3):
\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{31}+\mathbf{r}_3\times\mathbf{F}_{13} =(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3)\times\mathbf{F}_{31}.
Terceiro par (2,3):
\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{32}+\mathbf{r}_3\times\mathbf{F}_{23} =(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3)\times\mathbf{F}_{32}.
Portanto a soma total das contribuições internas é
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j\ne i}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji} =(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\times\mathbf{F}_{21} +(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3)\times\mathbf{F}_{31} +(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3)\times\mathbf{F}_{32}.

Passo 6

Agora explico a hipótese necessária para que cada um desses três termos seja nulo: forças internas centrais. “Forças centrais” entre um par i,j significa que a força exercida por j sobre i é paralela ao vetor relativo \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j. Em outras palavras existe um escalar f_{ji} tal que
\mathbf{F}_{ji}=f_{ji}\,(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j).
Se isso vale, então por exemplo
(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\times\mathbf{F}_{21} =(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\times\bigl(f_{21}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\bigr) =f_{21}\,(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\times(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)=\mathbf{0},
porque um vetor cruz um múltiplo de si mesmo é nulo. O mesmo raciocínio anula os outros dois termos. Assim, sob a hipótese usual de forças internas centrais (além de \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}), a soma das contribuições internas é zero:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j\ne i}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}=\mathbf{0}.
Observação importante (para a prova): apenas a igualdade vetorial \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji} não garante por si só que o torque interno some zero — é a colinearidade (forças centradas na linha que une as partículas) que assegura o cancelamento dos momentos internos.

Passo 7

Com a soma das forças internas anulada, voltamos à expressão de \dot{\mathbf{L}} obtida no Passo 3:
\dot{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}} + \underbrace{\sum_{i=1}^{3}\sum_{j\ne i}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}}_{=\mathbf{0}}.
Logo fica
\dot{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Definindo o torque externo total como \boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}=\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}, obtemos exatamente a relação desejada:
\dot{\mathbf{L}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}.

Resposta

\dot{\mathbf{L}}=\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\text{ext}}

Exercícios relacionados