3.21** Uma placa fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio R e repousa sobre o plano x y com seu centro na origem e com o diâmetro estendido ao longo do eixo x. Determine a posição do CM usando coordenadas polares. [Neste caso, o somatório (3.9), que define a posição do CM, torna-se uma integral bidimensional da forma \int \mathbf{r} \sigma d A, onde \sigma denota a densidade de massa da superfície (massa/área) da placa de metal e d A é o elemento de área d A=r d r d \varphi.]
Passo 1
O enunciado: uma placa fina e uniforme é cortada no formato de um semicírculo de raio R, repousa no plano xy com o centro na origem e o diâmetro ao longo do eixo x. Pede-se determinar a posição do centro de massa (CM) usando coordenadas polares.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A placa é uniforme, logo a densidade de massa superficial é constante: \sigma (massa/área).
O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\varphi.
As coordenadas polares relacionam-se com as cartesianas por x = r\cos\varphi e y = r\sin\varphi.
O semicírculo ocupa os pontos com 0 \le r \le R e 0 \le \varphi \le \pi (assumimos a metade superior, y\ge0).
Precisamos calcular as coordenadas do CM: X_{CM} e Y_{CM}, definidas pela fórmula de média ponderada sobre a área.
Passo 2
Apresentar a fórmula do centro de massa para uma lâmina com densidade superficial uniforme \sigma. A posição vetorial do CM é
\mathbf{r}=(x,y) é o vetor posição de um elemento de área,
M é a massa total da placa,
\sigma é constante (uniforme),
dA é o elemento de área.
Explicação do que significa cada termo: \sigma\,dA é a massa do elemento de área dA; ao integrar \mathbf{r}\,\sigma\,dA obtemos o “momento” total; dividir por M dá a média ponderada das posições, isto é, o CM.
Também explico por que dA=r\,dr\,d\varphi: um elemento pequeno em polares é um setor anelar de raio aproximadamente r, largura radial dr e ângulo d\varphi; sua área é comprimento do arco (r\,d\varphi) vezes a largura radial (dr), logo dA=r\,dr\,d\varphi.
Passo 3
Calcular a massa total M da placa. Como a placa é uniforme,
M=\sigma\cdot (\text{área do semicírculo}).
A área do semicírculo é metade da área do círculo:
Conclusão e interpretação: o CM do semicírculo está sobre o eixo y (por simetria) a uma distância \dfrac{4R}{3\pi} acima da origem. Esse valor é menor que R/2 (o que faz sentido: o CM está mais perto do centro do que o ponto médio do raio).