3.21** Uma placa fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio R e repousa sobre o plano x y com seu centro na origem e com o diâmetro estendido ao longo do eixo x. Determine a posição do CM usando coordenadas polares. [Neste caso, o somatório (3.9), que define a posição do CM, torna-se uma integral bidimensional da forma \int \mathbf{r} \sigma d A, onde \sigma denota a densidade de massa da superfície (massa/área) da placa de metal e d A é o elemento de área d A=r d r d \varphi.]

Passo 1

O enunciado: uma placa fina e uniforme é cortada no formato de um semicírculo de raio R, repousa no plano xy com o centro na origem e o diâmetro ao longo do eixo x. Pede-se determinar a posição do centro de massa (CM) usando coordenadas polares.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A placa é uniforme, logo a densidade de massa superficial é constante: \sigma (massa/área).
  • O elemento de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\varphi.
  • As coordenadas polares relacionam-se com as cartesianas por x = r\cos\varphi e y = r\sin\varphi.
  • O semicírculo ocupa os pontos com 0 \le r \le R e 0 \le \varphi \le \pi (assumimos a metade superior, y\ge0).
  • Precisamos calcular as coordenadas do CM: X_{CM} e Y_{CM}, definidas pela fórmula de média ponderada sobre a área.

Passo 2

Apresentar a fórmula do centro de massa para uma lâmina com densidade superficial uniforme \sigma. A posição vetorial do CM é
\mathbf{r}_{CM}=\frac{1}{M}\iint \mathbf{r}\,\sigma\,dA,
onde:
  • \mathbf{r}=(x,y) é o vetor posição de um elemento de área,
  • M é a massa total da placa,
  • \sigma é constante (uniforme),
  • dA é o elemento de área.
Explicação do que significa cada termo: \sigma\,dA é a massa do elemento de área dA; ao integrar \mathbf{r}\,\sigma\,dA obtemos o “momento” total; dividir por M dá a média ponderada das posições, isto é, o CM.
Também explico por que dA=r\,dr\,d\varphi: um elemento pequeno em polares é um setor anelar de raio aproximadamente r, largura radial dr e ângulo d\varphi; sua área é comprimento do arco (r\,d\varphi) vezes a largura radial (dr), logo dA=r\,dr\,d\varphi.

Passo 3

Calcular a massa total M da placa. Como a placa é uniforme,
M=\sigma\cdot (\text{área do semicírculo}).áí
A área do semicírculo é metade da área do círculo:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\pi R^{2}.Á
Portanto
M=\sigma\cdot \tfrac{1}{2}\pi R^{2}=\tfrac{\sigma\pi R^{2}}{2}.

Passo 4

Calcular X_{CM}. Pela definição,
X_{CM}=\frac{1}{M}\iint x\,\sigma\,dA.
Em coordenadas polares x=r\cos\varphi e dA=r\,dr\,d\varphi, então
X_{CM}=\frac{1}{M}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{R} (r\cos\varphi)\,\sigma\,(r\,dr\,d\varphi).
Reagrupando:
X_{CM}=\frac{\sigma}{M}\left(\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{R} r^{2}\,dr\right).
Agora avalio as integrais separadas:
\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\,d\varphi = \sin\varphi\big|_{0}^{\pi} = 0-0=0.
Como a integral em \varphi é zero, segue que
X_{CM}=0.
Interpretação física: o semicírculo é simétrico em relação ao eixo y, logo o CM fica sobre esse eixo ( x=0).

Passo 5

Calcular Y_{CM}. Pela definição,
Y_{CM}=\frac{1}{M}\iint y\,\sigma\,dA.
Em coordenadas polares y=r\sin\varphi e dA=r\,dr\,d\varphi, portanto
Y_{CM}=\frac{1}{M}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} (r\sin\varphi)\,\sigma\,(r\,dr\,d\varphi).
Reorganizando:
Y_{CM}=\frac{\sigma}{M}\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{R} r^{2}\,dr\right).
Calculo das duas integrais:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = [-\cos\varphi]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)-(-1)=2.
\int_{0}^{R} r^{2}\,dr = \frac{R^{3}}{3}.
Substituindo no numerador:
\text{numerador}=\sigma\cdot 2\cdot \frac{R^{3}}{3}=\frac{2\sigma R^{3}}{3}.
Agora divido pelo M calculado no Passo 3:
Y_{CM}=\frac{\dfrac{2\sigma R^{3}}{3}}{\dfrac{\sigma\pi R^{2}}{2}}.
Simplifico cancelando \sigma e R^{2}:
Y_{CM}=\frac{2R/3}{\pi/2}=\frac{2R}{3}\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{4R}{3\pi}.

Passo 6

Conclusão e interpretação: o CM do semicírculo está sobre o eixo y (por simetria) a uma distância \dfrac{4R}{3\pi} acima da origem. Esse valor é menor que R/2 (o que faz sentido: o CM está mais perto do centro do que o ponto médio do raio).

Resposta

\displaystyle \left(0,\;\frac{4R}{3\pi}\right)

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