7.29 . Por um condutor longo, reto e não magnético, de 0,2 \mathrm{~mm} de raio, circula uma corrente contínua uniformemente distribuída de 2 A . (a) Calcule
\mathbf{J} dentro do condutor. (b) Use a lei circuital de Ampère para encontrar
\mathbf{H} e
\mathbf{B} dentro do condutor. (c) Mostre que \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J} dentro do condutor. (d) Calcule He B fora do condutor. (e) Mostre que \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J} fora do condutor.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor longo, reto e não magnético de raio a=0,2\rm\,mm=2\times10^{-4}\,m, percorrido por uma corrente contínua I=2\rm\,A uniformemente distribuída na seção. Precisamos calcular:
– (a) a densidade de corrente \mathbf J no interior;
– (b) os campos \mathbf H e \mathbf B para r<a via a lei de Ampère;
– (c) mostrar que \nabla\times\mathbf H=\mathbf J para r<a;
– (d) os campos \mathbf H e \mathbf B para r>a;
– (e) mostrar que \nabla\times\mathbf H=\mathbf J para r>a.

Passo 2

Como a corrente está uniformemente distribuída na área da seção transversal, a densidade de corrente escalar é
J=\frac{I}{\pi a^2} =\frac{2\rm\,A}{\pi\,(2\times10^{-4}\,m)^2} \approx1{,}59\times10^{7}\,\rm A/m^2.
Logo
\mathbf J=J\,\hat z =1{,}59\times10^{7}\,\hat z\;\text{A/m}^2.

Passo 3

Para r<a, escolhemos um caminho amperiano circular de raio r. A lei de Ampère diz
\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l =H_\varphi\,(2\pi r) =I_{\rm enc} =J\,(\pi r^2).
Logo
H_\varphi=\frac{J\,r}{2}, \quad \mathbf H=\frac{J\,r}{2}\,\hat\varphi, \quad \mathbf B=\mu_0\,\mathbf H =\frac{\mu_0\,J\,r}{2}\,\hat\varphi.

Passo 4

No interior, em coordenadas cilíndricas,
\nabla\times\mathbf H =\Bigl(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(rH_\varphi)\Bigr)\hat z =\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(\frac{J\,r^2}{2}\Bigr)\hat z =J\,\hat z =\mathbf J,
o que prova \nabla\times\mathbf H=\mathbf J para r<a.

Passo 5

Para r>a, o valor de corrente envolvida é I. A lei de Ampère dá
H_\varphi\,(2\pi r)=I \;\Longrightarrow\; H_\varphi=\frac{I}{2\pi r},
portanto
\mathbf H=\frac{I}{2\pi r}\,\hat\varphi, \quad \mathbf B=\mu_0\,\mathbf H =\frac{\mu_0\,I}{2\pi r}\,\hat\varphi.

Passo 6

Para r>a,
\nabla\times\mathbf H =\Bigl(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(rH_\varphi)\Bigr)\hat z =\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(\frac{I}{2\pi}\Bigr)\hat z =0\;\hat z =\mathbf 0,
coerente com \mathbf J=0 fora do condutor.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf J=\frac{I}{\pi a^2}\,\hat z\approx1{,}59\times10^{7}\,\hat z\;\text{A/m}^2.
(b) Para r<a: \displaystyle \mathbf H=\frac{J\,r}{2}\,\hat\varphi=\frac{I\,r}{2\pi a^2}\,\hat\varphi,\quad \mathbf B=\mu_0\,\mathbf H.
(c) Em r<a, \nabla\times\mathbf H=\mathbf J.
(d) Para r>a: \displaystyle \mathbf H=\frac{I}{2\pi r}\,\hat\varphi,\quad \mathbf B=\frac{\mu_0\,I}{2\pi r}\,\hat\varphi.
(e) Em r>a, \nabla\times\mathbf H=\mathbf0, consistente com \mathbf J=0 fora do condutor.

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