A 298,15 \mathrm{~K}, a variação de entalpia (J/mol) devida à mistura do par etanol (1) / água (2), é dada pela equação:
\Delta h_{\text {mis }}(\mathrm{J} / \mathrm{mol})=x_{1} x_{2}\left[-1556,1+1902,5\left(x_{1}-x_{2}\right)\right]
Em fase líquida, os valores de capacidade calorífica para as substâncias puras são: Cp1 =112,4 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) e \mathrm{Cp} 2=75,3 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}).
Considerando que foram misturados 1 mol de etanol a 3 mols de água:
a) (vale 2,0 pontos) Estime \bar{H}_{1}, \bar{H}_{2} e h.
b) (vale 1,0 ponto) Qual o calor que deve ser trocado para que a mistura seja feita isotermicamente a 298,15 \mathrm{~K}.

Passo 1

O enunciado dá a entalpia de mistura molar em fase líquida a 298{,}15\:\mathrm{K}:
\Delta h_{\text{mis}}(x_1) = x_1x_2\Bigl[-1556,1 + 1902,5\,(x_1 - x_2)\Bigr],
onde x_2=1-x_1. Precisamos estimar as entalpias molares parciais \bar H_1, \bar H_2 e a entalpia molar média da mistura h, além do calor trocado em mistura isotérmica de n_1=1\:\mathrm{mol} de etanol e n_2=3\:\mathrm{mol} de água. Vamos usar as relações de mol-fração e as fórmulas de entalpia de mistura para obtenção de \bar h_i a partir de h e de sua derivada em função de x_1.

Passo 2

Calculemos as frações molares
x_1 = \frac{1}{1+3} = 0{,}25, \quad x_2 = 1 - x_1 = 0{,}75.
Para facilitar a derivação, expresse
h(x_1) = x_1(1-x_1)\bigl[-1556,1 + 1902,5\,(2x_1-1)\bigr].

Passo 3

Avalie h em x_1=0{,}25. Primeiro note que
u = x_1(1-x_1) = 0{,}25\cdot0{,}75 = 0{,}1875, \quad v = -1556,1 + 1902,5\,(2\cdot0{,}25-1) = -1556,1 + 1902,5\,( -0{,}5) = -1556,1 - 951,25 = -2507,35.
Logo
h = u\,v = 0{,}1875 \times (-2507,35) = -470,38\:\mathrm{J/mol}.

Passo 4

Derivando h(x_1)=u(x_1)\,v(x_1) por x_1 e avaliando em x_1=0{,}25:
\frac{dh}{dx_1} = u\,\frac{dv}{dx_1} + v\,\frac{du}{dx_1},
onde
\frac{dv}{dx_1} = 1902,5\cdot2 = 3805, \quad \frac{du}{dx_1} = 1 - 2x_1 = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.
Em x_1=0{,}25:
\frac{dh}{dx_1} = 0{,}1875\cdot3805 + (-2507,35)\cdot0{,}5 = 713,44 -1253,68 = -540,24\:\mathrm{J/mol}.

Passo 5

As entalpias molares parciais de mistura são dadas, para solução binária, por
\bar h_1 = h + x_2\frac{dh}{dx_1}, \quad \bar h_2 = h - x_1\frac{dh}{dx_1}.
Substituindo h=-470,38, dh/dx_1=-540,24, x_1=0{,}25, x_2=0{,}75:
\bar h_1 = -470,38 + 0{,}75\cdot(-540,24) = -470,38 -405,18 = -875,56\:\mathrm{J/mol},
\bar h_2 = -470,38 - 0{,}25\cdot(-540,24) = -470,38 +135,06 = -335,32\:\mathrm{J/mol}.
Como a mistura está a 298{,}15\:\mathrm{K} e sem variação de temperatura, não precisamos usar Cp para corrigir nada: as entalpias puras mantêm-se constantes no processo.

Passo 6

O calor trocado para fazer a mistura isotermicamente a 298{,}15\:\mathrm{K} é o calor de mistura total
Q = n_{\text{tot}}\;h = (n_1+n_2)\,h = 4\;\mathrm{mol}\;\times(-470,38\:\mathrm{J/mol}) = -1881,5\:\mathrm{J}.
O sinal negativo indica que a mistura libera 1881{,}5\:\mathrm{J}, ou seja, deve-se retirar essa quantidade de calor para manter a isoterma.

Resposta

(a) \bar H_1 = -875{,}6\:\mathrm{J/mol},\quad \bar H_2 = -335{,}3\:\mathrm{J/mol},\quad h = -470{,}4\:\mathrm{J/mol}.
(b) Q = -1881{,}5\:\mathrm{J} (calor liberado; deve ser removido).

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