[3.12] Um material Dielétrico obedece a seguinte equação de estado:
P=chi E V
Aqui, chi é função apenas da temperatura.
Mostre que o trabalho realizado para aumentar a polarização, sendo este um processo isotérmico e Quasi-Estaático é dado por:
W=12 V chi(Pf^2-Pi^2)=V chi2(Ef^2-Ei^2)

Passo 1

O enunciado descreve um dielétrico cuja polarização total P satisfaz P=chi E V, com chi dependente apenas da temperatura. Queremos o trabalho realizado em um processo isotérmico e quasi‐estático ao variar a polarização de Pi para Pf.

Passo 2

Em termodinâmica de dielétricos, o elemento infinitesimal de trabalho elétrico realizado sobre o sistema é dado por dW=E,dP. Aqui, o campo E funciona como força generalizada e P como deslocamento generalizado.

Passo 3

Como o processo é isotérmico, a susceptibilidade chi é constante. Da equação de estado P=chi E V isolamos o campo:
E=Pchi V

Passo 4

Substituindo na integral de trabalho e integrando de Pi até Pf:
W=integralPi^PfE,dP=integralPi^PfPchi V,dP=12chi Vl(Pf^2-Pi^2r)

Passo 5

Para escrever em termos de E, note que P=chi V E implica P^2=chi^2V^2E^2. Logo:
W=12chi Vl(chi^2V^2(Ef^2-Ei^2)r)=Vchi2l(Ef^2-Ei^2r)

Resposta

W=\frac{1}{2V\chi}\bigl(\mathcal{P}_f2-\mathcal{P}_i2\bigr)=\frac{V\chi}{2}\bigl(E_f2-E_i2\bigr)

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