[3.4] Um Gás de Van Der Waals obedece a seguinte equação de estado:
(P+av^2)(v-b)=R T
Onde a, b, R são as constantes de Van Der Waals, e v é o volume molar v=Vn.
(a) Calcule o trabalho realizado sobre 1 mol de um Gás de Van Der Waals, quando o mesmo se expande isotermicamente e Quasi-Estaticamente de um volume inicial Vi até um volume final Vf.
(b) Se a=1,4 times 10^9 N cdot m^4mol^2 e b=3,2 times 10^-5 m^3mol, qual é o trabalho necessário para expandir de um volume inicial Vi=10 litros para um volume final Vf=22, 4litros, um gás de Van der Waals mantido à temperatura de 293,15 K ?
(DADO R=8,31 J cdot mol^-1 cdot K^-1.)

Passo 1

O enunciado fala de um gás de Van der Waals, cuja equação de estado é
l(P + av^2r)(v - b) = R,T
Queremos calcular o trabalho realizado sobre 1 mol desse gás em uma expansão isotérmica e quase-estática de um volume inicial Vi até um volume final Vf. Vamos usar a definição de trabalho em processos quase-estáticos e a integração da pressão em função do volume.

Passo 2

Para encontrar o trabalho realizado pelo gás, escrevemos
Wpelo gás = integralVi^Vf P,dV á
e substituímos P isolando-a da equação de Van der Waals:
P = R,TV - b - aV^2
Logo,
Wpelo gás = integralVi^Vf l(R,TV - b - aV^2r) dV á
Integramos term a term:
integralVi^Vf R,TV - b,dV = R,Tlnl(Vf - bVi - br)
integralVi^Vf l(-aV^2r) dV = al(1Vf - 1Vir)
Somando,
Wpelo gás = R,Tlnl(Vf - bVi - br) + al(1Vf - 1Vir) á

Passo 3

Como a questão pede o trabalho realizado sobre o gás, usamos a convenção
Wsobre o gás = -,Wpelo gás áá
Portanto,
Wsobre o gás = -R,Tlnl(Vf - bVi - br) - al(1Vf - 1Vir) á

Passo 4

Agora substituímos os dados: a = 1,4times10^9,Ncdot m^4/mol^2, b = 3,2times10^-5,m^3/mol, Vi=10,L=0,010,m^3, Vf=22,4,L=0,0224,m^3, T=293,15, K e R=8,31,J/(mol,K).
Calculamos primeiro
R,Tlnl(Vf - bVi - br) approx 8,31times293,15times0,808 = 1,97times10^3, J
e
al(1Vf - 1Vir) = 1,4times10^9l(44,64 - 100r) approx -7,75times10^10, J
Logo,
Wsobre o gás = -1,97times10^3 - (-7,75times10^10) approx +7,75times10^10, J á

Resposta

O trabalho realizado sobre o gás é
[W_{sobre o gás} = -R,T\ln\Bigl(\frac{V_f - b}{V_i - b}\Bigr) - a\Bigl(\frac{1}{V_f} - \frac{1}{V_i}\Bigr)\approx 7,75\times10^{10},\mathrm J.

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