[7.8] Desenhe um diagrama
simbólico para um conjunto de Motores de Carnot que possuem as seguintes características: Cada motor absorve o calor rejeitado pelo anterior à temperatura de rejeição, e cada motor entrega a mesma quantidade de trabalho. Mostre que os intervalos de temperatura entre os quais estes motores operam são todos iguais.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar, no diagrama PV, uma série de ciclos de Carnot em cascata, cada um operando entre temperaturas Ti (isoterma superior) e Ti+1 (isoterma inferior), de modo que o calor rejeitado por um serve de calor absorvido pelo seguinte, e todos entregam o mesmo trabalho W. Vamos usar a propriedade de reversibilidade (entropia constante em cada ciclo) para mostrar que os intervalos ΔTi=Ti–Ti+1 são iguais.
Passo 2
Para esboçar o diagrama PV: precisamos desenhar várias isotermas horizontais, uma para cada temperatura Ti, com Ti>Ti+1>Ti+2>…; entre cada par de isotermas, traçamos adiabatas que ligam a isoterma superior à inferior formando um ciclo fechado tipo Carnot. Cada ciclo engloba a região entre Ti e Ti+1, e todos os ciclos têm a mesma área (trabalho W).
Passo 3
Em cada motor i aplicamos a condição de Carnot (reversível): o calor absorvido Qi na isoterma a Ti e o calor rejeitado Qi+1 na isoterma a Ti+1 satisfazem
Isso significa que o quociente Qi/Ti é o mesmo para todo i. Chamemos esse valor de ΔS (variação de entropia):
Passo 4
O trabalho W de cada motor é dado por W=Qi–Qi+1. Substituindo Qi=Ti·ΔS e Qi+1=Ti+1·ΔS, temos
Passo 5
Como W é o mesmo para todos os motores e ΔS também é igual (é a entropia trocada em cada ciclo), concluímos que
Ou seja, os intervalos de temperatura entre as isotermas de cada ciclo são iguais.
Passo 6
Assim, no diagrama PV isso aparece como uma pilha de ciclos de Carnot idênticos, cada um entre duas isotermas separadas por ΔT constante.
Resposta
Os intervalos de temperatura
são todos iguais e valem
, onde
é a variação de entropia em cada ciclo.