[3.8] A tensão num fio é aumentada isotermicamente e Quasi-Estaticamente desde Fi até Ff. O comprimento L, a seção de área reta A e o Módulo de Young Isotérmico Y não sofrem alterações e permanecem constantes.
(a) Mostre que, sob estas condições, o trabalho realizado sobre o fio é dado por:
W=L2 A Y(Ff^2-Fi^2)
(b) A tensão num fio de cobre de comprimento 1 m e seção de área reta de 1,00 times 10^-7 m^2 é aumentada Quasi-Estaticamente de 10 N para 100 N à temperatura de 20^circ C. Qual é o trabalho realizado se o Módulo de Young Isotérmico do Cobre é de Y=1,23 times 10^11 Nm^2 à 20^circ C ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho feito ao esticar um fio de tensão inicial Fi até Ff em processo isotérmico e quasi-estático, sabendo que o comprimento L, a área da seção reta A e o módulo de Young isotérmico Y são constantes. Vamos usar a relação de Hooke e a definição de trabalho em termodinâmica mecânica.

Passo 2

Ligamos o trabalho elemental dW à força e à variação de comprimento: primeiro, pela lei de Hooke temos
tensão sigma=FA=YDeã
Como a força varia, escrevemos
dW=F,dL=FcdotLA,Y,dF=LA,YF,dF
Agora integramos de Fi até Ff:
W=integralFi^FfLA,YF,dF=LA,Ycdot12l(Ff^2-Fi^2r)=L2A Yl(Ff^2-Fi^2r)

Passo 3

Substituindo os dados do fio de cobre: L=1,00,m, A=1,00times10^-7,m^2, Fi=10,N, Ff=100,N e Y=1,23times10^11,N/m^2:
W=12cdot1,00times10^-7cdot1,23times10^11l(100^2-10^2r)=99002,46times10^4approx0,402,J

Resposta

a) W=dfracL2AYl(Ff^2-Fi^2r).
b) Wapprox0,40,J.

Exercícios relacionados