f(0)=-1
f(1)=2
f(x+1)=f(x)+3 cdot f(x-1),
e as seguintes afirmações:
I. f(2) é um número primo.
II. f(3) é um número par.
III. f(4) é um número primo.
IV. f(5)=17.
É verdadeiro o que se afirma em:
A) le ll.
B) III e IV.
C) II e III.
D) II eIV.
E)IeIV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ que tá definida de forma especial:
  • $ f(0) = -1 $
  • $ f(1) = 2 $
  • Para qualquer outro número, $ f(x+1) = f(x) + 3 \cdot f(x-1) $
A gente precisa calcular alguns valores dessa função e verificar se as afirmações I, II, III e IV são verdadeiras. Vamos precisar entender como funciona essa recorrência e aplicar passo a passo para encontrar os valores de $ f(2) $, $ f(3) $, $ f(4) $ e $ f(5) $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f(2) $. Usando a fórmula dada:
f(2)
Mas olha só, não temos $ f(-1) $ definido. Provavelmente, houve um pequeno engano na interpretação. Vamos reescrever a fórmula corretamente para $ f(x) = f(x-1) + 3 \cdot f(x-2) $. Assim, para $ f(2) $:
f(2) = f(1) + 3 cdot f(-1)

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(3) $:
f(3)

Passo 4

Seguimos para $ f(4) $:
f(4)

Passo 5

Por fim, vamos calcular $ f(5) $:
f(5)

Passo 6

Agora que temos os valores:
  • $ f(2) = -1 $
  • $ f(3) = 5 $
  • $ f(4) = 2 $
  • $ f(5) = 17 $
Vamos verificar as afirmações:
I. $ f(2) $ é um número primo. — $ f(2) = -1 $. Números primos são maiores que 1, então FALSO.
II. $ f(3) $ é um número par. — $ f(3) = 5 $. 5 é ímpar, então FALSO.
III. $ f(4) $ é um número primo. — $ f(4) = 2 $. 2 é primo, então VERDADEIRO.
IV. $ f(5) = 17 $. — Calculamos e deu 17, então VERDADEIRO.

Resposta

A resposta correta é a opção B) III e IV.

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