( 30 pts ) Ar úmido a 30^{\circ} \mathrm{C}, 2 bar e 50 \% de umidade relativa entra em um trocador de calor operando em regime permanente com uma vazão de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, sendo resfriado a pressão constante até 20^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando os efeitos de energia cinética e potencial, determine:
a) a temperatura de ponto de orvalho, \mathrm{TPO}, \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}. Pelo resultado encontrado, ocorrerá condensação? Justifique b) razão de mistura, em kg de vapor / kg ar seco; c) a vazão mássica de ar seco, em kg ar seco / hora; d) a taxa de transferência de calor da corrente de ar úmido, em kJ/h.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos estes dados do enunciado, não há figura):
  • Condições de entrada do ar úmido:
    • temperatura T_1 = 30^\circ\mathrm{C},
    • pressão total p = 2\\ \text{bar} = 200\\ \text{kPa},
    • umidade relativa \varphi = 50\% = 0{,}50,
    • vazão mássica do ar úmido \dot{m}_{\text{úm}} = 600\\ \text{kg/h}ú.
  • O ar é resfriado a pressão constante até T_2 = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Desprezar energia cinética e potencial.
O enunciado pede:
a) temperatura de ponto de orvalho (TPO) em ^\circ\mathrm{C} e dizer se ocorrerá condensação (justificar);
b) razão de mistura w em \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco};
c) vazão mássica de ar seco em \mathrm{kg\\ ar\\ seco}/\mathrm{h};
d) taxa de transferência de calor da corrente de ar úmido em \mathrm{kJ/h}.

Passo 2

Primeiro precisamos obter a pressão parcial de vapor na entrada (isto é, a pressão real do vapor d’água na mistura). Para isso usamos a pressão de saturação da água à temperatura de entrada e a umidade relativa:
  • pressão de saturação à 30^\circ\mathrm{C}: \,p_{sat}(30^\circ\mathrm{C})\approx 4{,}243\\ \text{kPa}. (valor padrão de tabela)
  • pressão parcial do vapor:
p_v = \varphi\; p_{sat}(30^\circ\mathrm{C}) = 0{,}50\times 4{,}243\\ \text{kPa} = 2{,}1215\\ \text{kPa}.
Explicação curta do porquê: a umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial real do vapor e a pressão de saturação à mesma temperatura; logo p_v=\varphi p_{sat}(T).

Passo 3

Agora achamos a temperatura de ponto de orvalho T_{dp}. Definição: T_{dp} é a temperatura à qual o vapor fica saturado à mesma pressão parcial p_v, ou seja, p_{sat}(T_{dp})=p_v.
Para estimar T_{dp} uso a fórmula de Magnus-Tetens (boa aproximação para a faixa aqui), que dá p_{sat} em kPa a partir de T em ^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(T)=0{,}61094\exp\!\left(\frac{17{,}625\,T}{T+243{,}04}\right).
Invertendo para obter T em função de p_v:
T_{dp}=\frac{243{,}04\;\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}{17{,}625-\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)}.
Substituindo p_v=2{,}1215\\ \text{kPa}:
\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61094}\right)=\ln\!\left(\dfrac{2{,}1215}{0{,}61094}\right)\approx 1{,}245,
T_{dp}=\frac{243{,}04\times 1{,}245}{17{,}625-1{,}245}\approx\frac{302{,}6}{16{,}38}\approx 18{,}47^\circ\mathrm{C}.
Interpretação para a pergunta de condensação: o ar é resfriado somente até 20^\circ\mathrm{C}, e o ponto de orvalho é T_{dp}\approx 18{,}47^\circ\mathrm{C}. Como T_2=20^\circ\mathrm{C} > T_{dp}, o ar ainda está acima do ponto de orvalho ao final do processo, logo NÃO ocorrerá condensação (sem atingir saturação).

Passo 4

Agora calculamos a razão de mistura (razão de massa de vapor por massa de ar seco) w. A fórmula da razão de mistura para ar úmido, baseada em balanço de pressões e a constante de gás, é aprox:
w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p-p_v},
onde 0{,}622 é a razão das constantes gasosas R_v/R_a (ou derivado de relações termodinâmicas usuais).
Substituindo p_v=2{,}1215\\ \text{kPa} e p=200\\ \text{kPa}:
w = 0{,}622\;\frac{2{,}1215}{200-2{,}1215} = 0{,}622\;\frac{2{,}1215}{197{,}8785}.
Calculando:
w \approx 0{,}006667\\ \text{kg vapor / kg ar seco}.
Comentário didático: w é pequeno porque a pressão total é grande (2 bar) comparada com a pressão parcial do vapor.

Passo 5

Com w achado, obtemos a vazão mássica de ar seco. Relação entre vazão de ar úmido \dot{m}_{\text{úm}}ú, vazão de ar seco \dot{m}_{a} e w:
\dot{m}_{\text{úm}} = \dot{m}_{a} + \dot{m}_{v} = \dot{m}_{a}(1+w).ú
Logo
\dot{m}_{a}=\frac{\dot{m}_{\text{úm}}}{1+w}.ú
Substituindo \dot{m}_{\text{úm}}=600\\ \text{kg/h}ú e w=0{,}006667:
\dot{m}_{a}=\frac{600}{1+0{,}006667}\approx \frac{600}{1{,}006667}\approx 595{,}97\\ \text{kg/h}.
Para referência, a vazão mássica de vapor é \dot{m}_v=\dot{m}_a\;w\approx 595{,}97\times 0{,}006667\approx 3{,}98\\ \text{kg/h}.

Passo 6

Finalmente, taxa de transferência de calor. Como não houve condensação, o calor removido é apenas o calor sensível para baixar a temperatura do ar seco e do vapor d’água. Usamos capacidade térmica a pressão constante aproximada constante no intervalo:
  • calor específico do ar seco: c_{p,a}\approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
  • calor específico do vapor d’água: c_{p,v}\approx 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
A variação de entalpia por kg de ar seco ao resfriar de T_1 para T_2 é:
\Delta h_{\text{por kg ar seco}} = c_{p,a}(T_2-T_1) + w\,c_{p,v}(T_2-T_1).
Note que T_2-T_1 = 20^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C} = -10\\ \mathrm{K}.
Substituindo valores:
c_{p,a}+w c_{p,v} = 1{,}005 + 0{,}006667\times 1{,}86 \approx 1{,}005 + 0{,}01240 \approx 1{,}01740\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
\Delta h_{\text{por kg ar seco}} \approx 1{,}01740\times(-10) \approx -10{,}174\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Taxa de calor total (para toda a vazão) é:
\dot{Q} = \dot{m}_{a}\,\Delta h_{\text{por kg ar seco}} \approx 595{,}97\times (-10{,}174)\\ \mathrm{kJ/h}.
\dot{Q}\approx -6{,}061{,}9\\ \mathrm{kJ/h}\approx -6{,}062\\ \mathrm{kJ/h}.
Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que o ar perde calor (o trocador retira cerca de 6{,}062\\ \mathrm{kJ/h} do ar úmido). Em módulo, a potência térmica retirada é 6{,}062\\ \mathrm{kJ/h}.

Resposta

(a) TPO \approx 18{,}47^\circ\mathrm{C}. Não ocorrerá condensação, pois T_2=20^\circ\mathrm{C}>TPO.
(b) w \approx 0{,}006667\\ \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
(c) \dot{m}_{a} \approx 595{,}97\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco}/\mathrm{h}.
(d) \dot{Q} \approx -6{,}062\\ \mathrm{kJ/h} (negativo indica calor removido do ar).

Exercícios relacionados