34E. Mostre que a potência média transmitida por uma onda pode ser escrita em termos da freqüência v, em lugar da freqüência angular \boldsymbol{\omega}, na forma
\bar{P}=2 \pi^{2} \mu v v^{2} y_{m}^{2}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a potência média transmitida por uma onda periódica pode ser escrita em termos da frequência ordinária, em vez da frequência angular, na forma
\bar{P}=2\pi^{2}\mu v \nu^{2} y_{m}^{2}.
Informações e notação que vamos usar (pegar do enunciado e do contexto usual de uma corda vibrante):
\mu é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento).
v é a velocidade de propagação da onda na corda.
y_{m} é a amplitude da onda (deslocamento máximo transversal).
\omega é a frequência angular (rad/s).
\nu é a frequência ordinária (Hz, ciclos por segundo).
Relação entre elas: \omega=2\pi \nu.
O objetivo é partir de uma expressão padrão da potência média que envolve \omega e reescrevê‑la usando \nu.
Passo 2
Escrever a forma usual da onda e lembrar relações básicas.
Considere uma onda harmônica transversal que se propaga na direção +x com forma
y(x,t)=y_{m}\sin(kx-\omega t),
onde k é o número de onda e \omega a frequência angular. Aqui:
y(x,t) é o deslocamento transversal da corda no ponto x e tempo t;
k relaciona‑se com o comprimento de onda \lambda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Expliquei essas relações porque as usaremos para substituir T, k e \omega conforme necessário.
Passo 3
Expressar a potência instantânea transmitida por essa onda.
A potência instantânea P(x,t) transmitida através de uma seção da corda é o produto da força transversal exercida pela tensão pela velocidade transversal nessa seção. Para pequenas inclinações:
(Breve explicação: \partial y/\partial x dá a inclinação; T vezes essa inclinação é a força transversal. Multiplicando pela velocidade \partial y/\partial t obtemos potência. O sinal depende da direção do fluxo de energia; aqui interessa o valor médio.)
A potência média em um ponto (média sobre um período T_{\text{per}}=1/\nu) usa a média de \cos^{2}. A identidade útil é \cos^{2}\theta=(1+\cos 2\theta)/2, cuja média temporal é 1/2. Assim
\overline{\cos^{2}(kx-\omega t)}=\frac{1}{2}.
Logo a potência média é
\bar{P}=\frac{1}{2}\,T\,k\,\omega\,y_{m}^{2}.
Substitua T=\mu v^{2} e k=\dfrac{\omega}{v} (ou use \omega=v k) para escrever \bar P em termos de \mu, v e \omega: