34E. Mostre que a potência média transmitida por uma onda pode ser escrita em termos da freqüência v, em lugar da freqüência angular \boldsymbol{\omega}, na forma
\bar{P}=2 \pi^{2} \mu v v^{2} y_{m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a potência média transmitida por uma onda periódica pode ser escrita em termos da frequência ordinária, em vez da frequência angular, na forma
\bar{P}=2\pi^{2}\mu v \nu^{2} y_{m}^{2}.
Informações e notação que vamos usar (pegar do enunciado e do contexto usual de uma corda vibrante):
  • \mu é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento).
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda.
  • y_{m} é a amplitude da onda (deslocamento máximo transversal).
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
  • \nu é a frequência ordinária (Hz, ciclos por segundo).
  • Relação entre elas: \omega=2\pi \nu.
    O objetivo é partir de uma expressão padrão da potência média que envolve \omega e reescrevê‑la usando \nu.

Passo 2

Escrever a forma usual da onda e lembrar relações básicas.
  • Considere uma onda harmônica transversal que se propaga na direção +x com forma
y(x,t)=y_{m}\sin(kx-\omega t),
onde k é o número de onda e \omega a frequência angular. Aqui:
  • y(x,t) é o deslocamento transversal da corda no ponto x e tempo t;
  • k relaciona‑se com o comprimento de onda \lambda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • A velocidade de onda v relaciona k e \omega por
v=\frac{\omega}{k}\quad\Leftrightarrow\quad k=\frac{\omega}{v}.
  • A tensão T na corda e a densidade linear \mu satisfazem (para pequenas oscilações)
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\Rightarrow\quad T=\mu v^{2}.
Expliquei essas relações porque as usaremos para substituir T, k e \omega conforme necessário.

Passo 3

Expressar a potência instantânea transmitida por essa onda.
  • A potência instantânea P(x,t) transmitida através de uma seção da corda é o produto da força transversal exercida pela tensão pela velocidade transversal nessa seção. Para pequenas inclinações:
P(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}.
(Breve explicação: \partial y/\partial x dá a inclinação; T vezes essa inclinação é a força transversal. Multiplicando pela velocidade \partial y/\partial t obtemos potência. O sinal depende da direção do fluxo de energia; aqui interessa o valor médio.)
  • Calcule as derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x}=k y_{m}\cos(kx-\omega t),
\frac{\partial y}{\partial t}=-\omega y_{m}\cos(kx-\omega t).
  • Multiplicando e substituindo em P(x,t):
P(x,t) = -T\bigl(k y_{m}\cos(kx-\omega t)\bigr)\bigl(-\omega y_{m}\cos(kx-\omega t)\bigr).
As duplas negativas se cancelam, ficando
P(x,t)=T\,k\,\omega\,y_{m}^{2}\cos^{2}(kx-\omega t).

Passo 4

Calcular a potência média temporal \bar{P}.
  • A potência média em um ponto (média sobre um período T_{\text{per}}=1/\nu) usa a média de \cos^{2}. A identidade útil é \cos^{2}\theta=(1+\cos 2\theta)/2, cuja média temporal é 1/2. Assim
\overline{\cos^{2}(kx-\omega t)}=\frac{1}{2}.
  • Logo a potência média é
\bar{P}=\frac{1}{2}\,T\,k\,\omega\,y_{m}^{2}.
  • Substitua T=\mu v^{2} e k=\dfrac{\omega}{v} (ou use \omega=v k) para escrever \bar P em termos de \mu, v e \omega:
\bar{P}=\frac{1}{2}\,\mu v^{2}\cdot\frac{\omega}{v}\cdot\omega\,y_{m}^{2} =\frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}\,v\,y_{m}^{2}.
Expliquei cada substituição: T=\mu v^{2} vem da definição de velocidade de onda em uma corda; k=\omega/v vem da relação entre k, \omega e v.

Passo 5

Trocar \omega por \nu e obter a forma pedida.
  • Lembrando \omega=2\pi\nu, substitua em \bar P:
\bar{P}=\frac{1}{2}\,\mu\,(2\pi\nu)^{2}\,v\,y_{m}^{2}.
  • Desenvolvendo:
\bar{P}=\frac{1}{2}\,\mu\,4\pi^{2}\nu^{2}\,v\,y_{m}^{2}=2\pi^{2}\mu\,v\,\nu^{2}\,y_{m}^{2}.
Pronto — chegamos à expressão requerida, escrita em termos da frequência ordinária \nu.

Resposta

\bar{P}=2\pi^{2}\mu\,v\,\nu^{2}\,y_{m}^{2}

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