3.35 Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura estacionária
em uma esfera oca,
na qual se gera calor a uma taxa uniforme
e as superfícies
e
são conservadas na mesma temperatura uniforme
.
Passo 1
O problema pede a distribuição de temperatura estacionária
em uma casca esférica oca para
, sujeita a geração de calor volumétrica uniforme e contornos isotermais. Informações dadas e incógnitas:
- A casca esférica tem raios interno
e externo . - A geração volumétrica de calor é uniforme e vale
(unidades: ). - As superfícies em
e estão mantidas na mesma temperatura uniforme . - Procura-se
no regime estacionário (temperatura independente do tempo). - É necessário conhecer a condutividade térmica do material; denotaremos por
a condutividade térmica (unidade: ), assumida constante e isotrópica.
Passo 2
Escrevendo a equação de calor estacionária com geração volumétrica:
ou equivalentemente
Aqui
é a temperatura (função de
) e
é o laplaciano espacial. A equação diz: o balanço entre difusão térmica (representada por
) e a geração interna
deve se anular no regime estacionário.
Passo 3
Para solução com simetria esférica (dependência apenas de
) o laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a:
Substituindo na equação de balanço obtemos a equação ordinária:
Multiplicando por
e integrando em relação a
(primeira integração):
onde
é uma constante de integração (a ser determinada pelas condições de contorno). Explicação prática: integrar uma derivada produz a função mais uma constante arbitrária.
Passo 4
Isolando
e integrando novamente (segunda integração):
Integrando em
:
onde
é outra constante de integração. Comentário didático:
e
; por isso os coeficientes acima aparecem como
e
.
Passo 5
Aplicar as condições de contorno isotermais:
Escrevendo essas duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira (para eliminar
):
Isolando
:
Passo 6
Resolver explicitamente para
. Note que
Substituindo e simplificando:
Como
o sinal se inverte e obtemos
Passo 7
Determinar
substituindo
numa das condições (por exemplo em
):
Com
temos
Portanto
Verificação rápida: essa escolha de
anula
e
, como deve ocorrer.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral obtemos a expressão final para
. Organizando os termos com o fator
em evidência:
É possível checar que para
e
o termo entre parênteses zera, retornando
, conforme as condições de contorno.