3.35 Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma esfera oca, a \leq r \leq b na qual se gera calor a uma taxa uniforme g_{\circ} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{3} e as superfícies \mathrm{em} r=a e r=b são conservadas na mesma temperatura uniforme T_{o}.

Passo 1

O problema pede a distribuição de temperatura estacionária T(r) em uma casca esférica oca para a \le r \le b, sujeita a geração de calor volumétrica uniforme e contornos isotermais. Informações dadas e incógnitas:
  • A casca esférica tem raios interno a e externo b.
  • A geração volumétrica de calor é uniforme e vale g_{\circ} (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}).
  • As superfícies em r=a e r=b estão mantidas na mesma temperatura uniforme T_{o}.
  • Procura-se T(r) no regime estacionário (temperatura independente do tempo).
  • É necessário conhecer a condutividade térmica do material; denotaremos por k a condutividade térmica (unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), assumida constante e isotrópica.

Passo 2

Escrevendo a equação de calor estacionária com geração volumétrica:
-k\,\nabla^{2}T + g_{\circ}=0,
ou equivalentemente
\nabla^{2}T = -\dfrac{g_{\circ}}{k}.
Aqui T é a temperatura (função de r) e \nabla^{2} é o laplaciano espacial. A equação diz: o balanço entre difusão térmica (representada por \nabla^{2}T) e a geração interna g_{\circ} deve se anular no regime estacionário.

Passo 3

Para solução com simetria esférica (dependência apenas de r) o laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a:
\nabla^{2}T = \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dT}{dr}\right).
Substituindo na equação de balanço obtemos a equação ordinária:
\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dT}{dr}\right) = -\dfrac{g_{\circ}}{k}.
Multiplicando por r^{2} e integrando em relação a r (primeira integração):
\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dT}{dr}\right) = -\dfrac{g_{\circ}}{k}\,r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\dfrac{dT}{dr} = -\dfrac{g_{\circ}}{k}\cdot\dfrac{r^{3}}{3} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (a ser determinada pelas condições de contorno). Explicação prática: integrar uma derivada produz a função mais uma constante arbitrária.

Passo 4

Isolando \dfrac{dT}{dr} e integrando novamente (segunda integração):
\dfrac{dT}{dr} = -\dfrac{g_{\circ}}{k}\cdot\dfrac{r}{3} + \dfrac{C_{1}}{r^{2}}.
Integrando em r:
T(r) = -\dfrac{g_{\circ}}{k}\cdot\dfrac{r^{2}}{6} - \dfrac{C_{1}}{r} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Comentário didático: \int r\,dr = r^{2}/2 e \int r^{-2}dr = -r^{-1}; por isso os coeficientes acima aparecem como -g_{\circ}r^{2}/(6k) e -C_{1}/r.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno isotermais:
T(a)=T_{o},\qquad T(b)=T_{o}.
Escrevendo essas duas equações:
T_{o} = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}a^{2} - \dfrac{C_{1}}{a} + C_{2},
T_{o} = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}b^{2} - \dfrac{C_{1}}{b} + C_{2}.
Subtraindo a segunda da primeira (para eliminar C_{2}):
0 = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}\,(a^{2}-b^{2}) - C_{1}\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).
Isolando C_{1}:
C_{1}\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right) = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}\,(a^{2}-b^{2}).

Passo 6

Resolver explicitamente para C_{1}. Note que
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),\qquad \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}.
Substituindo e simplificando:
C_{1} = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}\cdot\dfrac{(a-b)(a+b)}{(b-a)/(ab)}.
Como (a-b) = -(b-a) o sinal se inverte e obtemos
C_{1} = \dfrac{g_{\circ}}{6k}\,ab(a+b).

Passo 7

Determinar C_{2} substituindo C_{1} numa das condições (por exemplo em r=a):
T_{o} = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}a^{2} - \dfrac{C_{1}}{a} + C_{2}.
Com C_{1}=\dfrac{g_{\circ}}{6k}\,ab(a+b) temos
-\dfrac{C_{1}}{a} = -\dfrac{g_{\circ}}{6k}\,b(a+b).
Portanto
C_{2} = T_{o} + \dfrac{g_{\circ}}{6k}\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Verificação rápida: essa escolha de C_{1},C_{2} anula T(a)-T_{o} e T(b)-T_{o}, como deve ocorrer.

Passo 8

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a expressão final para T(r). Organizando os termos com o fator \dfrac{g_{\circ}}{6k} em evidência:
T(r) = T_{o} + \dfrac{g_{\circ}}{6k}\!\left(a^{2}+ab+b^{2}-r^{2}-\dfrac{ab(a+b)}{r}\right).
É possível checar que para r=a e r=b o termo entre parênteses zera, retornando T=T_{o}, conforme as condições de contorno.

Resposta

T(r)=T_{o}+\dfrac{g_{\circ}}{6k}\!\left(a^{2}+ab+b^{2}-r^{2}-\dfrac{ab(a+b)}{r}\right),\quad a\le r\le b