2.39 Determine os volumes específicos do dióxido de carbono a -20^{\circ} \mathrm{C} e 2000 kPa e a 1400 kPa .

Passo 1

O enunciado pede: determinar os volumes específicos do dióxido de carbono nas duas condições dadas. As informações do enunciado são:
  • Temperatura: -20^\circ\mathrm{C}.
  • Pressões: 2000\\ \mathrm{kPa} e 1400\\ \mathrm{kPa}.
Ou seja, queremos o volume específico v (volume por unidade de massa, normalmente em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}) do CO _2 a T=-20^\circ\mathrm{C} para cada uma das duas pressões indicadas.

Passo 2

Vou usar a lei dos gases (modelo mais simples e básico) para obter uma aproximação: a lei dos gases ideais, que dá o volume específico como
v = \frac{R\,T}{p},
onde:
  • v é o volume específico ( \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}),
  • R é a constante específica do gás ( \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} ou \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}),
  • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}),
  • p é a pressão ( \mathrm{kPa}).
Explicando a fórmula de forma simples: a lei diz que, para um gás ideal, a razão entre a energia térmica por massa ( R\,T) e a pressão resulta no volume ocupado por unidade de massa. É uma fórmula que você usa direto na prova quando o enunciado não pede ajuste de não idealidade.

Passo 3

Converter a temperatura para Kelvin:
T = -20^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 - 20 = 253{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a constante específica R do CO _2. Primeiro, a constante universal dos gases é \,R_u = 8{,}3144621\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K} (que equivale a \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}). A massa molar do CO _2 é aproximadamente M = 44{,}01\\ \mathrm{kg}/\mathrm{kmol}. Então
R = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}3144621}{44{,}01} \approx 0{,}18892\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
Observação sobre unidades: \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} é numericamente igual a \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}, então podemos usar R diretamente com p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o produto R\,T (passo intermediário útil para as duas pressões):
R\,T \approx 0{,}18892 \times 253{,}15 \approx 47{,}819\\ \text{(unidade: }\mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\text{)}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula para p = 2000\\ \mathrm{kPa}:
v_{2000} = \frac{R\,T}{p} = \frac{47{,}819}{2000} \approx 0{,}02391\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Expliquei cada passo para que você consiga repetir na prova: multiplicar R por T e dividir pelo valor da pressão.

Passo 7

Calculo para p = 1400\\ \mathrm{kPa}:
v_{1400} = \frac{R\,T}{p} = \frac{47{,}819}{1400} \approx 0{,}03416\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 8

Breve comentário didático sobre validade da aproximação: aqui usei o gás ideal ( Z=1). Para saber se a aproximação é boa você pode verificar os números reduzidos do CO _2:
T_c \approx 304{,}13\\ \mathrm{K},\qquad p_c \approx 7377\\ \mathrm{kPa},
T_r = \frac{T}{T_c} \approx \frac{253{,}15}{304{,}13}\approx 0{,}833,\qquad p_r = \frac{p}{p_c}.
Para p=2000\\ \mathrm{kPa} obtemos p_r\approx 0{,}271; para 1400\\ \mathrm{kPa} obtemos p_r\approx 0{,}190. Com T_r<1 e p_r não muito pequeno, o CO _2 apresenta alguma não idealidade, então o resultado pode ter erro moderado. Se na prova for necessário maior precisão, você teria que introduzir o fator de compressibilidade Z e usar
v = \frac{Z\,R\,T}{p},
obtendo Z a partir do diagrama de compressibilidade generalizado ou tabelas/softwares de propriedades reais de CO _2. Mas para uma resposta rápida e em muitos exercícios de prova, a aproximação do gás ideal é aceita.

Resposta

v_{\,p=2000\\ \mathrm{kPa}} \approx 0{,}02391\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}
v_{\,p=1400\\ \mathrm{kPa}} \approx 0{,}03416\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}

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