39 Um disco horizontal gira, com velocidade angular \omega, em relação ao solo, em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Um corpo de massa m move-se ao longo de um raio do disco com velocidade v constante em relação ao disco, passando pelo centro dele no instante t=0. Num instante genérico t, a energia cinética do corpo em relação ao solo é dada por
a) m v^{2}(1+\omega t) / 2
b) \mathrm{mv}^{2} / 2
c) m v^{2}(1+\omega t)^{2} / 2
d) m v^{2}\left(1+\omega^{2} t^{2}\right) / 2
e) m v^{2} \omega^{2} t^{2} / 2

Passo 1

O enunciado dá um disco girando com velocidade angular constante \omega em torno de um eixo vertical e um corpo de massa m que se desloca, no referencial do disco, ao longo de um raio com velocidade constante v, passando pelo centro em t=0. Precisamos calcular a energia cinética em relação ao solo, que é
K = \frac12\,m\,\lvert \mathbf v_{\rm solo}\rvert^2.
Para isso, vamos obter a velocidade do corpo no referencial inercial usando coordenadas polares e a composição
\mathbf v_{\rm solo} = \underbrace{r'(t)\,\mathbf e_r}_{\text{vel. radial}} + \underbrace{r(t)\,\theta'(t)\,\mathbf e_\theta}_{\text{vel. tangencial}}.

Passo 2

No referencial do solo a posição polar do corpo é
r(t)=v\,t, \quad \theta(t)=\omega\,t,
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r'(t)=v, \quad \theta'(t)=\omega.
Portanto a velocidade vetorial é
\mathbf v_{\rm solo} = v\,\mathbf e_r + (v\,t)\,\omega\,\mathbf e_\theta.

Passo 3

Como \mathbf e_r e \mathbf e_\theta são ortogonais, o quadrado da velocidade é
\lvert \mathbf v_{\rm solo}\rvert^2 = v^2 + (\omega\,v\,t)^2 = v^2\bigl(1 + \omega^2 t^2\bigr).

Passo 4

Substituindo em K = \tfrac12\,m\,\lvert \mathbf v_{\rm solo}\rvert^2, obtemos
K = \frac12\,m\,v^2\bigl(1 + \omega^2 t^2\bigr).

Resposta

d) \displaystyle \frac{m\,v^{2}\bigl(1+\omega^{2}t^{2}\bigr)}{2}

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